NNDL 作业3：分别使用numpy和pytorch实现FNN例题

目录

过程推导 - 了解BP原理

数值计算 - 手动计算，掌握细节

代码实现 - numpy手推 + pytorch自动

1、对比【numpy】和【pytorch】程序，总结并陈述。

numpy程序

pytorch程序

2、激活函数Sigmoid用PyTorch自带函数torch.sigmoid()，观察、总结并陈述。

3、激活函数Sigmoid改变为Relu，观察、总结并陈述。

4、损失函数MSE用PyTorch自带函数 t.nn.MSELoss()替代，观察、总结并陈述。

5、损失函数MSE改变为交叉熵，观察、总结并陈述。

6、改变步长，训练次数，观察、总结并陈述

7、权值w1-w8初始值换为随机数，对比“指定权值”的结果，观察、总结并陈述。

8、权值w1-w8初始值换为0，观察、总结并陈述。

9、全面总结反向传播原理和编码实现，认真写心得体会。

参考文献：

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过程推导 - 了解BP原理

因为上学期学过机器学习，对西瓜书比较了解，下图是周志华老师的西瓜书上边关于bp原理的说明，

数值计算 - 手动计算，掌握细节

下边带上自己手写的推导 

代码实现 - numpy手推 + pytorch自动

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1、对比【numpy】和【pytorch】程序，总结并陈述。

numpy程序

import numpy as np

w1, w2, w3, w4, w5, w6, w7, w8 = 0.2, -0.4, 0.5, 0.6, 0.1, -0.5, -0.3, 0.8
x1, x2 = 0.5, 0.3
y1, y2 = 0.23, -0.07
print("输入值 x0, x1:", x1, x2)
print("输出值 y0, y1:", y1, y2)


def sigmoid(z):
    a = 1 / (1 + np.exp(-z))
    return a


def forward_propagate(x1, x2, y1, y2, w1, w2, w3, w4, w5, w6, w7, w8):
    in_h1 = w1 * x1 + w3 * x2
    out_h1 = sigmoid(in_h1)
    in_h2 = w2 * x1 + w4 * x2
    out_h2 = sigmoid(in_h2)

    in_o1 = w5 * out_h1 + w7 * out_h2
    out_o1 = sigmoid(in_o1)
    in_o2 = w6 * out_h1 + w8 * out_h2
    out_o2 = sigmoid(in_o2)

    print("正向计算，隐藏层h1 ,h2：", end="")
    print(round(out_h1, 5), round(out_h2, 5))
    print("正向计算，预测值o1 ,o2：", end="")
    print(round(out_o1, 5), round(out_o2, 5))

    error = (1 / 2) * (out_o1 - y1) ** 2 + (1 / 2) * (out_o2 - y2) ** 2

    print("损失函数(均方误差)：",round(error, 5))

    return out_o1, out_o2, out_h1, out_h2


def back_propagate(out_o1, out_o2, out_h1, out_h2):
    # 反向传播
    d_o1 = out_o1 - y1
    d_o2 = out_o2 - y2

    d_w5 = d_o1 * out_o1 * (1 - out_o1) * out_h1
    d_w7 = d_o1 * out_o1 * (1 - out_o1) * out_h2
    d_w6 = d_o2 * out_o2 * (1 - out_o2) * out_h1
    d_w8 = d_o2 * out_o2 * (1 - out_o2) * out_h2

    d_w1 = (d_o1 * out_h1 * (1 - out_h1) * w5 + d_o2 * out_o2 * (1 - out_o2) * w6) * out_h1 * (1 - out_h1) * x1
    d_w3 = (d_o1 * out_h1 * (1 - out_h1) * w5 + d_o2 * out_o2 * (1 - out_o2) * w6) * out_h1 * (1 - out_h1) * x2
    d_w2 = (d_o1 * out_h1 * (1 - out_h1) * w7 + d_o2 * out_o2 * (1 - out_o2) * w8) * out_h2 * (1 - out_h2) * x1
    d_w4 = (d_o1 * out_h1 * (1 - out_h1) * w7 + d_o2 * out_o2 * (1 - out_o2) * w8) * out_h2 * (1 - out_h2) * x2

    print("w的梯度:",round(d_w1, 2), round(d_w2, 2), round(d_w3, 2), round(d_w4, 2), round(d_w5, 2), round(d_w6, 2),
          round(d_w7, 2), round(d_w8, 2))

    return d_w1, d_w2, d_w3, d_w4, d_w5, d_w6, d_w7, d_w8


def update_w(w1, w2, w3, w4, w5, w6, w7, w8):
    # 步长
    step = 1
    w1 = w1 - step * d_w1
    w2 = w2 - step * d_w2
    w3 = w3 - step * d_w3
    w4 = w4 - step * d_w4
    w5 = w5 - step * d_w5
    w6 = w6 - step * d_w6
    w7 = w7 - step * d_w7
    w8 = w8 - step * d_w8
    return w1, w2, w3, w4, w5, w6, w7, w8


if __name__ == "__main__":

    print("权值w0-w7:",round(w1, 2), round(w2, 2), round(w3, 2), round(w4, 2), round(w5, 2), round(w6, 2), round(w7, 2),
          round(w8, 2))


    for i in range(5):
        print("=====第" + str(i+1) + "轮=====")
        out_o1, out_o2, out_h1, out_h2 = forward_propagate(x1, x2, y1, y2, w1, w2, w3, w4, w5, w6, w7, w8)
        d_w1, d_w2, d_w3, d_w4, d_w5, d_w6, d_w7, d_w8 = back_propagate(out_o1, out_o2, out_h1, out_h2)
        w1, w2, w3, w4, w5, w6, w7, w8 = update_w(w1, w2, w3, w4, w5, w6, w7, w8)

    print("更新后的权值w:",round(w1, 2), round(w2, 2), round(w3, 2), round(w4, 2), round(w5, 2), round(w6, 2), round(w7, 2),
          round(w8, 2))

输入值 x0, x1: 0.5 0.3
输出值 y0, y1: 0.23 -0.07
权值w0-w7: 0.2 -0.4 0.5 0.6 0.1 -0.5 -0.3 0.8
=====第1轮=====
正向计算，隐藏层h1 ,h2：0.56218 0.495
正向计算，预测值o1 ,o2：0.47695 0.5287
损失函数(均方误差)： 0.20971
w的梯度: -0.01 0.01 -0.01 0.01 0.03 0.08 0.03 0.07
=====第2轮=====
正向计算，隐藏层h1 ,h2：0.56359 0.49285
正向计算，预测值o1 ,o2：0.46853 0.50721
损失函数(均方误差)： 0.19503
w的梯度: -0.01 0.01 -0.01 0.01 0.03 0.08 0.03 0.07
=====第3轮=====
正向计算，隐藏层h1 ,h2：0.56524 0.49104
正向计算，预测值o1 ,o2：0.46042 0.48642
损失函数(均方误差)： 0.18135
w的梯度: -0.01 0.01 -0.01 0.01 0.03 0.08 0.03 0.07
=====第4轮=====
正向计算，隐藏层h1 ,h2：0.5671 0.48954
正向计算，预测值o1 ,o2：0.45261 0.46642
损失函数(均方误差)： 0.16865
w的梯度: -0.01 0.01 -0.01 0.0 0.03 0.08 0.03 0.07
=====第5轮=====
正向计算，隐藏层h1 ,h2：0.56913 0.48832
正向计算，预测值o1 ,o2：0.44506 0.44726
损失函数(均方误差)： 0.1569
w的梯度: -0.01 0.01 -0.01 0.0 0.03 0.07 0.03 0.06
更新后的权值w: 0.25 -0.44 0.53 0.57 -0.06 -0.89 -0.44 0.46

进程已结束，退出代码为 0

pytorch程序

import torch

x = [0.5, 0.3]  # x0, x1 = 0.5, 0.3
y = [0.23, -0.07]  # y0, y1 = 0.23, -0.07
print("输入值 x0, x1:", x[0], x[1])
print("输出值 y0, y1:", y[0], y[1])
w = [torch.Tensor([0.2]), torch.Tensor([-0.4]), torch.Tensor([0.5]), torch.Tensor(
    [0.6]), torch.Tensor([0.1]), torch.Tensor([-0.5]), torch.Tensor([-0.3]), torch.Tensor([0.8])]  # 权重初始值
for i in range(0, 8):
    w[i].requires_grad = True
print("权值w0-w7:")
for i in range(0, 8):
    print(w[i].data, end="  ")


def forward_propagate(x):  # 计算图
    in_h1 = w[0] * x[0] + w[2] * x[1]
    out_h1 = torch.sigmoid(in_h1)
    in_h2 = w[1] * x[0] + w[3] * x[1]
    out_h2 = torch.sigmoid(in_h2)

    in_o1 = w[4] * out_h1 + w[6] * out_h2
    out_o1 = torch.sigmoid(in_o1)
    in_o2 = w[5] * out_h1 + w[7] * out_h2
    out_o2 = torch.sigmoid(in_o2)

    print("正向计算，隐藏层h1 ,h2：", end="")
    print(out_h1.data, out_h2.data)
    print("正向计算，预测值o1 ,o2：", end="")
    print(out_o1.data, out_o2.data)

    return out_o1, out_o2


def loss(x, y):  # 损失函数
    y_pre = forward_propagate(x)  # 前向传播
    loss_mse = (1 / 2) * (y_pre[0] - y[0]) ** 2 + (1 / 2) * (y_pre[1] - y[1]) ** 2  # 考虑 ： t.nn.MSELoss()
    print("损失函数(均方误差)：", loss_mse.item())
    return loss_mse


if __name__ == "__main__":
    for k in range(1):
        print("\n=====第" + str(k+1) + "轮=====")
        l = loss(x, y)  # 前向传播，求 Loss，构建计算图
        l.backward()  # 反向传播，求出计算图中所有梯度存入w中. 自动求梯度，不需要人工编程实现。
        print("w的梯度: ", end="  ")
        for i in range(0, 8):
            print(round(w[i].grad.item(), 2), end="  ")  # 查看梯度
        step = 1  # 步长
        for i in range(0, 8):
            w[i].data = w[i].data - step * w[i].grad.data  # 更新权值
            w[i].grad.data.zero_()  # 注意：将w中所有梯度清零
        print("\n更新后的权值w:")
        for i in range(0, 8):
            print(w[i].data, end="  ")

输入值 x0, x1: 0.5 0.3
输出值 y0, y1: 0.23 -0.07
权值w0-w7:
tensor([0.2000])  tensor([-0.4000])  tensor([0.5000])  tensor([0.6000])  tensor([0.1000])  tensor([-0.5000])  tensor([-0.3000])  tensor([0.8000])  
=====第1轮=====
正向计算，隐藏层h1 ,h2：tensor([0.5622]) tensor([0.4950])
正向计算，预测值o1 ,o2：tensor([0.4769]) tensor([0.5287])
损失函数(均方误差)： 0.2097097933292389
w的梯度:   -0.01  0.01  -0.01  0.01  0.03  0.08  0.03  0.07  
更新后的权值w:
tensor([0.2084])  tensor([-0.4126])  tensor([0.5051])  tensor([0.5924])  tensor([0.0654])  tensor([-0.5839])  tensor([-0.3305])  tensor([0.7262]) 

通过运行结果可以看出numpy和torch运行结果都差不多，运行到最后loss都一样，说明达到最优解。

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2、激活函数Sigmoid用PyTorch自带函数torch.sigmoid()，观察、总结并陈述。

 out_h1 = torch.sigmoid(in_h1)

    out_h2 = torch.sigmoid(in_h2)

两种激活函数是在对神经元进行非线性处理时候用到，通过对比两个函数，Sigmoid函数和使用Pytorch自带的函数torch.sigmoid()无明显差距。

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3、激活函数Sigmoid改变为Relu，观察、总结并陈述。

1轮

输入值 x0, x1: 0.5 0.3
输出值 y0, y1: 0.23 -0.07
权值w0-w7:
tensor([0.2000])  tensor([-0.4000])  tensor([0.5000])  tensor([0.6000])  tensor([0.1000])  tensor([-0.5000])  tensor([-0.3000])  tensor([0.8000])  
=====第1轮=====
正向计算，隐藏层h1 ,h2：tensor([0.2500]) tensor([0.])
正向计算，预测值o1 ,o2：tensor([0.0250]) tensor([0.])
损失函数(均方误差)： 0.023462500423192978
w的梯度:   -0.01  0.0  -0.01  0.0  -0.05  0.0  -0.0  0.0  
更新后的权值w:
tensor([0.2103])  tensor([-0.4000])  tensor([0.5062])  tensor([0.6000])  tensor([0.1513])  tensor([-0.5000])  tensor([-0.3000])  tensor([0.8000])  

100轮

=====第100轮=====
正向计算，隐藏层h1 ,h2：tensor([0.4055]) tensor([0.])
正向计算，预测值o1 ,o2：tensor([0.2300]) tensor([0.])
损失函数(均方误差)： 0.0024500000290572643
w的梯度:   -0.0  0.0  -0.0  0.0  -0.0  0.0  0.0  0.0  
更新后的权值w:
tensor([0.4287])  tensor([-0.4000])  tensor([0.6372])  tensor([0.6000])  tensor([0.5672])  tensor([-0.5000])  tensor([-0.3000])  tensor([0.8000])  

500轮
 

正向计算，隐藏层h1 ,h2：tensor([0.4055]) tensor([0.])
正向计算，预测值o1 ,o2：tensor([0.2300]) tensor([0.])
损失函数(均方误差)： 0.0024500000290572643
w的梯度:   -0.0  0.0  -0.0  0.0  -0.0  0.0  0.0  0.0  
更新后的权值w:

1000轮

=====第1000轮=====
正向计算，隐藏层h1 ,h2：tensor([0.4055]) tensor([0.])
正向计算，预测值o1 ,o2：tensor([0.2300]) tensor([0.])
损失函数(均方误差)： 0.0024500000290572643
w的梯度:   -0.0  0.0  -0.0  0.0  -0.0  0.0  0.0  0.0  
更新后的权值w:
tensor([0.4287])  tensor([-0.4000])  tensor([0.6372])  tensor([0.6000])  tensor([0.5672])  tensor([-0.5000])  tensor([-0.3000])  tensor([0.8000]) 

从上边可以看出

sigmoid激活函数涉及到指数运算，计算量大，并且反向传播求误差梯度时，求导涉及除法，所以运算量的不同会导致上述训练收敛速度的不同。

relu函数计算比sigmoid函数简单，计算速度更快，计算量也比较小。

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4、损失函数MSE用PyTorch自带函数 t.nn.MSELoss()替代，观察、总结并陈述。

将激活函数进行修改得到如下代码；

def loss(x, y):  # 损失函数
    y_pre = forward_propagate(x)  # 前向传播
    # loss_mse = (1 / 2) * (y_pre[0] - y[0]) ** 2 + (1 / 2) * (y_pre[1] - y[1]) ** 2  # 考虑 ： t.nn.MSELoss()
    mse = torch.nn.MSELoss()
    loss_mse = mse(torch.tensor(y_pre[0]),torch.tensor(y[0])) + mse(torch.tensor(y_pre[1]),torch.tensor(y[1]))
    print("损失函数(均方误差)：", loss_mse.item())
    return loss_mse

1轮

正向计算：o1 ,o2
tensor([0.4769]) tensor([0.5287])
损失函数（均方误差）： 0.4194195866584778
	grad W:  -0.02 0.03 -0.01 0.02 0.07 0.17 0.06 0.15
更新后的权值
tensor([0.2168]) tensor([-0.4252]) tensor([0.5101]) tensor([0.5849]) tensor([0.0307]) tensor([-0.6677]) tensor([-0.3610]) tensor([0.6523])

50轮

正向计算：o1 ,o2
tensor([0.2376]) tensor([0.0736])
损失函数（均方误差）： 0.02068198285996914
	grad W:  -0.01 -0.0 -0.0 -0.0 0.0 0.01 0.0 0.01
更新后的权值
tensor([0.9834]) tensor([-0.2099]) tensor([0.9701]) tensor([0.7141]) tensor([-0.8661]) tensor([-2.8555]) tensor([-1.0899]) tensor([-1.1204])

100轮

正向计算：o1 ,o2
tensor([0.2280]) tensor([0.0412])
损失函数（均方误差）： 0.012363419868052006
	grad W:  -0.0 -0.0 -0.0 -0.0 -0.0 0.01 -0.0 0.0
更新后的权值
tensor([1.1885]) tensor([-0.1073]) tensor([1.0931]) tensor([0.7756]) tensor([-0.8715]) tensor([-3.3002]) tensor([-1.0941]) tensor([-1.4604])

不难发现激活函数改变了，运行结果也有很大的差异

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5、损失函数MSE改变为交叉熵，观察、总结并陈述。

修改激活函数为

def loss_fuction(x1, x2, y1, y2):
    y1_pred, y2_pred = forward_propagate(x1, x2)
    loss_func = torch.nn.CrossEntropyLoss() # 创建交叉熵损失函数
    y_pred = torch.stack([y1_pred, y2_pred], dim=1)
    y = torch.stack([y1, y2], dim=1)
    loss = loss_func(y_pred, y) # 计算
    print("损失函数（交叉熵损失）：", loss.item())
    return loss

1轮

正向计算：o1 ,o2
tensor([0.4769]) tensor([0.5287])
损失函数（交叉熵损失）： 0.11871970444917679
	grad W:  -0.0 0.01 -0.0 0.0 -0.02 0.02 -0.02 0.02
更新后的权值
tensor([0.2028]) tensor([-0.4052]) tensor([0.5017]) tensor([0.5969]) tensor([0.1213]) tensor([-0.5213]) tensor([-0.2812]) tensor([0.7812])

100轮

正向计算：o1 ,o2
tensor([0.8455]) tensor([0.1529])
损失函数（交叉熵损失）： 0.016428470611572266
	grad W:  -0.01 -0.0 -0.0 -0.0 -0.01 0.01 -0.01 0.01
更新后的权值
tensor([0.9026]) tensor([-0.3255]) tensor([0.9216]) tensor([0.6447]) tensor([1.7590]) tensor([-2.1559]) tensor([1.0382]) tensor([-0.5358])

500轮

正向计算：o1 ,o2
tensor([0.9827]) tensor([0.0174])
损失函数（交叉熵损失）： -0.01593960076570511
	grad W:  -0.0 -0.0 -0.0 -0.0 -0.0 0.0 -0.0 0.0
更新后的权值
tensor([1.9505]) tensor([0.3587]) tensor([1.5503]) tensor([1.0552]) tensor([3.3073]) tensor([-3.6951]) tensor([2.2004]) tensor([-1.6912])

有负数的出现

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6、改变步长，训练次数，观察、总结并陈述

改变步长为2训练100轮

正向计算：o1 ,o2
tensor([0.9382]) tensor([0.0612])
损失函数（交叉熵损失）： -0.005729638040065765
	grad W:  -0.0 -0.0 -0.0 -0.0 -0.01 0.0 -0.0 0.0
更新后的权值
tensor([1.3933]) tensor([-0.0570]) tensor([1.2160]) tensor([0.8058]) tensor([2.4980]) tensor([-2.8880]) tensor([1.5902]) tensor([-1.0827])

改变步长为5训练100轮

正向计算：o1 ,o2
tensor([0.9827]) tensor([0.0174])
损失函数（交叉熵损失）： -0.015939436852931976
	grad W:  -0.0 -0.0 -0.0 -0.0 -0.0 0.0 -0.0 0.0
更新后的权值
tensor([1.9486]) tensor([0.3483]) tensor([1.5492]) tensor([1.0490]) tensor([3.3190]) tensor([-3.7062]) tensor([2.2093]) tensor([-1.6997])

当训练次数一定时，步长越大，均方误差下降越快，收敛越快。

改变步长为5训练50轮

正向计算：o1 ,o2
tensor([0.9547]) tensor([0.0450])
损失函数（交叉熵损失）： -0.009541265666484833
	grad W:  -0.0 -0.0 -0.0 -0.0 -0.0 0.0 -0.0 0.0
更新后的权值
tensor([1.5416]) tensor([0.0349]) tensor([1.3050]) tensor([0.8610]) tensor([2.7260]) tensor([-3.1141]) tensor([1.7615]) tensor([-1.2526])

改变步长为5训练100轮

正向计算：o1 ,o2
tensor([0.9827]) tensor([0.0174])
损失函数（交叉熵损失）： -0.015939436852931976
	grad W:  -0.0 -0.0 -0.0 -0.0 -0.0 0.0 -0.0 0.0
更新后的权值
tensor([1.9486]) tensor([0.3483]) tensor([1.5492]) tensor([1.0490]) tensor([3.3190]) tensor([-3.7062]) tensor([2.2093]) tensor([-1.6997])

步长一定时，随着训练次数增加，均方误差下降速度也在逐渐降低，收敛速度也下降了。

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7、权值w1-w8初始值换为随机数，对比“指定权值”的结果，观察、总结并陈述。

更改初始权重：

w1, w2, w3, w4, w5, w6, w7, w8 =torch.rand(1), torch.rand(1), torch.rand(1), torch.rand(1), torch.rand(
    1),torch.rand(1), torch.rand(1), torch.rand(1)

1轮

正向计算：o1 ,o2
tensor([0.7541]) tensor([0.6021])
损失函数（交叉熵损失）： 0.08856570720672607
	grad W:  -0.0 -0.0 -0.0 -0.0 -0.02 0.02 -0.02 0.02
更新后的权值
tensor([0.9299]) tensor([0.8555]) tensor([0.9413]) tensor([0.7544]) tensor([0.7036]) tensor([0.3886]) tensor([1.0139]) tensor([0.1818])

100轮

正向计算：o1 ,o2
tensor([0.9064]) tensor([0.2066])
损失函数（交叉熵损失）： 0.015541687607765198
	grad W:  -0.0 -0.0 -0.0 -0.0 -0.01 0.01 -0.01 0.01
更新后的权值
tensor([1.1692]) tensor([0.7000]) tensor([0.9344]) tensor([0.1963]) tensor([2.0019]) tensor([-1.2656]) tensor([1.4525]) tensor([-0.7877])

1000轮

正向计算：o1 ,o2
tensor([0.9938]) tensor([0.0069])
损失函数（交叉熵损失）： -0.018397122621536255
	grad W:  -0.0 -0.0 -0.0 -0.0 -0.0 0.0 -0.0 0.0
更新后的权值
tensor([2.2406]) tensor([1.6900]) tensor([1.4354]) tensor([1.3155]) tensor([3.6107]) tensor([-3.2414]) tensor([2.7017]) tensor([-2.9695])

通过改变轮数，可以简单观察到权重的初始化不会影响收敛的结果，只会影响收敛的速度。

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8、权值w1-w8初始值换为0，观察、总结并陈述。

更改初始权重：

w1, w2, w3, w4, w5, w6, w7, w8 = torch.Tensor([0]), torch.Tensor([0]), torch.Tensor([0]), torch.Tensor(
    [0]), torch.Tensor([0]), torch.Tensor([0]), torch.Tensor([0]), torch.Tensor([0])

1轮

正向计算：o1 ,o2
tensor([0.5000]) tensor([0.5000])
损失函数（交叉熵损失）： 0.1109035536646843
	grad W:  0.0 0.0 0.0 0.0 -0.02 0.02 -0.02 0.02
更新后的权值
tensor([0.]) tensor([0.]) tensor([0.]) tensor([0.]) tensor([0.0188]) tensor([-0.0188]) tensor([0.0188]) tensor([-0.0188])

100轮

正向计算：o1 ,o2
tensor([0.8406]) tensor([0.1594])
损失函数（交叉熵损失）： 0.01783166080713272
	grad W:  -0.01 -0.01 -0.0 -0.0 -0.01 0.01 -0.01 0.01
更新后的权值
tensor([0.4746]) tensor([0.4746]) tensor([0.2848]) tensor([0.2848]) tensor([1.4453]) tensor([-1.4453]) tensor([1.4453]) tensor([-1.4453])

1000轮

正向计算：o1 ,o2
tensor([0.9932]) tensor([0.0068])
损失函数（交叉熵损失）： -0.018344268202781677
	grad W:  -0.0 -0.0 -0.0 -0.0 -0.0 0.0 -0.0 0.0
更新后的权值
tensor([1.7782]) tensor([1.7782]) tensor([1.0669]) tensor([1.0669]) tensor([3.2392]) tensor([-3.2392]) tensor([3.2392]) tensor([-3.2392])

前50轮Loss变大，也就是收敛速度慢，最终1000轮后收敛结果相同，即权重初始值只绘影响网络收敛速度，并不会影响或微小影响网络的收敛结果。

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9、全面总结反向传播原理和编码实现，认真写心得体会。

反向传播和编码实现在我上学起的机器学习中就有涉及到，第一遍学习是特别懵的，这一次在接触是很深刻的理解了，同样的还有bp算法。

在激活函数这里，我深刻的理解到了，不同的激活函数变现出来的性能是不一样的，并且激活函数

也有可能出现负数的情况，例如上边。

参考文献：

周志华   《西瓜书》

邱锡鹏   《神经网络与深度学习》