利用回溯法求解旅行售货员问题Python实现

       回溯法按深度优先策略搜索问题的解空间树。首先从根节点出发搜索解空间树，当算法搜索至解空间树的某一节点时，先利用剪枝函数判断该节点是否可行（即能得到问题的解）。如果不可行，则跳过对该节点为根的子树的搜索，逐层向其祖先节点回溯；否则，进入该子树，继续按深度优先策略搜索。

       回溯法的基本行为是搜索，搜索过程使用剪枝函数来为了避免无效的搜索。剪枝函数包括两类：1. 使用约束函数，剪去不满足约束条件的路径；2.使用限界函数，剪去不能得到最优解的路径。

       问题的关键在于如何定义问题的解空间，转化成树（即解空间树）。解空间树分为两种：子集树和排列树。两种在算法结构和思路上大体相同。

       一、问题描述

       假设有一个旅行商人要拜访 个城市，他必须选择所要走的路径，路径的限制是每个城市只能拜访一次，而且最后要回到原来出发的城市。路径的选择目标是使求得的路径长度为所有路径之中的最小值。

       例如，现在有4个城市，其各顶点的路径长度如下所示：

       二、问题分析

       旅行售货员问题（TSP问题）是一个经典的组合优化问题。经典TSP问题可以描述为：一个商品推销员要去若干个城市推销商品，该推销员从一个城市出发，需要经过所有城市后，回到出发地。应如何选择行进路线，以使总的行程最短。

       从图论角度看：

       该问题实质是在一个带权完全无向图中，找一个权值最小的Hamilton回路。由于该问题的可行解是所有顶点的全排列，随着顶点数的增加，会产生组合爆炸，它是一个NP完全问题。

       TSP的数学模型为：

       三、实验代码

# 回溯法求解旅行商问题
import math

n = 4
x = [0, 1, 2, 3]
# 定义图的字典形式
G = {
    '1': {'2': 3, '3': 6, '4': 7},
    '2': {'1': 5, '3': 2, '4': 3},
    '3': {'1': 6, '2': 4, '4': 2},
    '4': {'1': 3, '2': 7, '3': 5}
}
# 定义图的数组形式
graph = [
    [0, 3, 6, 7],
    [5, 0, 2, 3],
    [6, 4, 0, 2],
    [3, 7, 5, 0]
]

# bestcost = 1<<32 # 这里只要是一个很大数就行了 无穷其实也可以
bestcost = math.inf  # 直接取无穷好了
nowcost = 0  # 全局变量，现在的花费


def TSP(graph, n, s):
    global nowcost, bestcost
    if (s == n):
        if (graph[x[n - 1]][x[0]] != 0 and (nowcost + graph[x[n - 1]][x[0]] < bestcost)):
            print('best way:', x)
            bestcost = nowcost + graph[x[n - 1]][x[0]]
            print('bestcost', bestcost)

    else:
        for i in range(s, n):

            # 如果下一节点不是自身 而且 求得的值小于目前的最佳值
            if (graph[x[i - 1]][x[i]] != 0 and nowcost + graph[x[i - 1]][x[i]] < bestcost):
                x[i], x[s] = x[s], x[i]  # 交换一下

                nowcost += graph[x[s - 1]][x[s]]  # 将花费加入
                TSP(graph, n, s + 1)
                nowcost -= graph[x[s - 1]][x[s]]  # 回溯上去还需要减去

                x[i], x[s] = x[s], x[i]  # 别忘记交换回来


TSP(graph, n, 1)

       四、实验结果

D:\Miniconda3\python.exe D:/算法分析与设计/实验/实验三/回溯法—旅行售货员问题.py
best way: [0, 1, 2, 3]
bestcost 10

Process finished with exit code 0