极限方法总结
如何求极限？求极限方法有哪些？
1 、 ϵ − N , ϵ − δ 定义法： 套用 ϵ − N , ϵ − δ 定义进行求极限 , 是最简单直接的方法； 1、\epsilon-N,\epsilon -\delta定义法：\\套用\epsilon-N,\epsilon -\delta定义进行求极限,是最简单直接的方法； 1、ϵ−N,ϵ−δ定义法：套用ϵ−N,ϵ−δ定义进行求极限,是最简单直接的方法；
2 、两边夹法则【夹逼定理】 : 如果数列 { X n } , { Y n } 及 { Z n } 满足下列条件： ( 1 ) 当 n > N 0 时，其中 N 0 ∈ N ∗ ，有 Y n < X n < Z n ； ( 2 ) { Y n } 、 { Z n } 有相同的极限，设 − ∞ < a < ∞ ， 则数列 { X n } 的极限存在，且当 n → + ∞ 时， lim X n = a . 2、两边夹法则【夹逼定理】:\\如果数列\left \{X _{n} \right \},\left \{Y _{n} \right \} 及\left \{Z _{n} \right \}满足下列条件：\\(1)当n> N_{0}时，其中N_{0}\in N^{*}，有Y_{n}< X_{n}< Z_{n}；\\(2)\left \{Y _{n} \right \}、\left \{Z _{n} \right \}有相同的极限，设-\infty< a< \infty，\\则数列\left \{X _{n} \right \}的极限存在，且当n\rightarrow +\infty时 ，\lim X_{n}=a . 2、两边夹法则【夹逼定理】:如果数列{Xn},{Yn}及{Zn}满足下列条件：(1)当n>N0时，其中N0∈N∗，有Yn<Xn<Zn；(2){Yn}、{Zn}有相同的极限，设−∞<a<∞，则数列{Xn}的极限存在，且当n→+∞时，limXn=a.
T h : 设 a n , b n , c n 满足 a n ≤ b n ≤ c n . 且 lim n → + ∞ a n = lim n → + ∞ c n ， 则 lim n → + ∞ b n = a . 注： 1 ∘ ∃ N , s t . n > N , a n ≤ b n ≤ c n ； 2 ∘ 函数极限也成立。 Th: 设a_{n},b_{n},c_{n}满足a_{n}\leq b_{n}\leq c_{n}.且\lim_{n\rightarrow+\infty}a_{n}=\lim_{n\rightarrow+\infty}c_{n}，\\则\lim_{n\rightarrow+\infty}b_{n}=a .\\注：1^\circ\exists N,st.n> N,a_{n}\leq b_{n}\leq c_{n}；2^\circ函数极限也成立。 Th:设an,bn,cn满足an≤bn≤cn.且n→+∞liman=n→+∞limcn，则n→+∞limbn=a.注：1∘∃N,st.n>N,an≤bn≤cn；2∘函数极限也成立。
3 、洛毕达法则： 一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法 1 ∘ 、 T h ( 0 0 ) : 如果 f ( x ) , g ( x ) 满足 : 1 ) lim x → x 0 f ( x ) = lim x → x 0 g ( x ) = 0 , 2 ) f ( x ) , g ( x ) 在 U ∘ ( x 0 , δ ) ∃ 且可导， g ( x ) ′ ≠ 0 , 3 ) lim x → x 0 f ( x ) ′ g ( x ) ′ = A , } ⇒ lim x → x 0 f ( x ) g ( x ) = A 3、 洛毕达法则：\\一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法\\1^{\circ}、Th\left ( \frac{0}{0} \right ):如果f\left ( x \right ),g\left ( x \right )满足:\\ \begin{aligned} \left.\begin{aligned} 1)\lim_{x\rightarrow x_{0}}f\left ( x \right )=\lim_{x\rightarrow x_{0}}g\left ( x \right )=0,\\ 2)f\left ( x \right ),g\left ( x \right)在U^{\circ}\left (x _{0},\delta \right )\exists且可导，g\left ( x \right )^{'}\neq 0,\\ %加&指定对齐位置 3)\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f\left ( x \right )^{'}}{g\left ( x \right )^{'}}=A, \end{aligned} \right\}\Rightarrow\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f\left ( x \right )}{g\left ( x \right )}=A %加右} \qquad \end{aligned} 3、洛毕达法则：一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法1∘、Th(00):如果f(x),g(x)满足:1)x→x0limf(x)=x→x0limg(x)=0,2)f(x),g(x)在U∘(x0,δ)∃且可导，g(x)′=0,3)x→x0limg(x)′f(x)′=A,⎭ ⎬ ⎫⇒x→x0limg(x)f(x)=A
2 ∘ 、 T h ( ∞ ∞ ) : 如果 f ( x ) , g ( x ) 满足 : 1 ) lim x → x 0 f ( x ) = lim x → x 0 g ( x ) = ∞ ; 2 ) f ( x ) , g ( x ) 在 U ∘ ( x 0 , δ ) ∃ 且可导， g ( x ) ′ ≠ 0 ; 3 ) lim x → x 0 f ( x ) ′ g ( x ) ′ = A ; } ⇒ lim x → x 0 f ( x ) g ( x ) = A 2^{\circ}、Th\left ( \frac{\infty}{\infty} \right ):如果f\left ( x \right ),g\left ( x \right )满足:\\\begin{aligned} \left.\begin{aligned} 1)\lim_{x\rightarrow x_{0}}f\left ( x \right )=\lim_{x\rightarrow x_{0}}g\left ( x \right )=\infty;\\ 2)f\left ( x \right ),g\left ( x \right)在U^{\circ}\left (x _{0},\delta \right )\exists且可导，g\left ( x \right )^{'}\neq 0;\\ %加&指定对齐位置 3)\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f\left ( x \right )^{'}}{g\left ( x \right )^{'}}=A; \end{aligned} \right\}\Rightarrow\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f\left ( x \right )}{g\left ( x \right )}=A %加右} \qquad \end{aligned} 2∘、Th(∞∞):如果f(x),g(x)满足:1)x→x0limf(x)=x→x0limg(x)=∞;2)f(x),g(x)在U∘(x0,δ)∃且可导，g(x)′=0;3)x→x0limg(x)′f(x)′=A;⎭ ⎬ ⎫⇒x→x0limg(x)f(x)=A
4 、递推关系： 1 ) x n + 1 = f ( x n ) ，求 x n = 2 ) 先证明 x , 的极限存在性，再通过递推关系求极限值。【单调有界原理、 C a u c h y 收敛准则、压缩映像原理 ( 不动点定理 ) 】； 3 ) 压缩映像原理 < 不动点定理 > : y = f ( x ) ； ∃ x 0 ， s t . f ( x 0 ) = x 0 . 设 k ∈ ( 0 , 1 ) ，对 ∀ x , y ∈ R ， ∣ f ( x ) − f ( y ) ∣ ≤ k ∣ x − y ∣ ; ∀ x 0 ∈ R ，构造数列 x n + 1 = f ( x n ) ， n = 0 , 1 , 2 , . . . 则 i ) lim n → ∞ x n = x t i i ) x t 为 f ( x ) 唯一的不动点 i i i ) ∣ x n − x t ∣ ≤ k n 1 − k ∣ x 1 − x 0 ∣ 4、 递推关系：\\1)x_{n+1}=f\left ( x_{n} \right )，求 x_{n}=\\2)先证明x,的极限存在性，再通过递推关系求极限值。【单调有界原理、Cauchy收敛准则、压缩映像原理(不动点定理)】；\\3)压缩映像原理<不动点定理>:\\y=f\left ( x \right )；\exists x_{0}，st.f\left ( x_{0} \right )=x_{0}.\\设k\in\left ( 0,1 \right )，对\forall x,y\in R，\left |f\left ( x \right )-f\left ( y \right ) \right |\leq k\left | x-y \right |;\\ \forall x_{0}\in R，构造数列x_{n+1}=f\left ( x_{n} \right )，n=0,1,2,...则\\ i)\lim_{n\rightarrow \infty}x_{n}=x^{t}\\ ii)x^{t}为f\left ( x \right )唯一的不动点\\ iii)\left | x_{n}-x^{t} \right |\leq \frac{k^{n}}{1-k}\left | x_{1}-x_{0} \right | 4、递推关系：1)xn+1=f(xn)，求xn=2)先证明x,的极限存在性，再通过递推关系求极限值。【单调有界原理、Cauchy收敛准则、压缩映像原理(不动点定理)】；3)压缩映像原理<不动点定理>:y=f(x)；∃x0，st.f(x0)=x0.设k∈(0,1)，对∀x,y∈R，∣f(x)−f(y)∣≤k∣x−y∣;∀x0∈R，构造数列xn+1=f(xn)，n=0,1,2,...则i)n→∞limxn=xtii)xt为f(x)唯一的不动点iii)∣ ∣xn−xt∣ ∣≤1−kkn∣x1−x0∣
证明： i ) : ∣ x n + 1 − x n ∣ = ∣ f ( x n ) − f ( x n − 1 ) ∣ ≤ k ∣ x n − x n − 1 ∣ ≤ . . . ≤ k n ∣ x 1 − x 0 ∣ 考虑 ∣ x n + p − x n ∣ = ∣ x n + p − x n + p − 1 + x n + p − 1 − x n + p − 2 + . . . + x n + 1 − x n ∣ ≤ ∣ x n + p − x n ∣ + . . . ∣ x n + 1 − x n ∣ ≤ k n + p − 1 ∣ x 1 − x 0 ∣ + . . . + k n ∣ x 1 − x 0 ∣ = k n − k n + p 1 − k ∣ x 1 − x 0 ∣ ≤ k n 1 − k ∣ x 1 − x 0 ∣ → 0 ∴ lim n → ∞ x n = x t i i ) : x n + 1 = f ( x n ) , 令 n → ∞ , x t = f ( x t ) 唯一性：若 ∃ y t , s t . f ( y t ) = y t ; ∣ f ( x t ) − f ( y t ) ∣ ≤ k ∣ x t − y t ∣ ∴ ∣ x t − y t ∣ ≤ k ∣ x t − y t ∣ ⇒ ( 1 − k ) ( x t − y t ) ≤ 0 又 ∵ k ∈ ( 0 , 1 ) ∴ x t = y t i i i ) : ∣ x n + p − x n ∣ ≤ k n 1 − k ∣ x 1 − x 0 ∣ , 令 p → ∞ , 则 ∣ x t − x n ∣ ≤ k n 1 − k ∣ x 1 − x 0 ∣ 证明：\\ i):\left | x_{n+1} - x_{n} \right |=\left |f\left ( x_{n} \right )-f\left ( x_{n-1} \right ) \right |\leq k\left | x_{n} - x_{n-1} \right |\leq ...\leq k^{n}\left | x_{1} - x_{0} \right |\\ 考虑\left | x_{n+p} - x_{n} \right |=\left | x_{n+p} - x_{n+p-1} + x_{n+p-1} - x_{n+p-2} +...+ x_{n+1} - x_{n} \right |\\ \leq\left | x_{n+p} - x_{n} \right |+...\left | x_{n+1} - x_{n} \right |\\ \leq k^{n+p-1}\left | x_{1} - x_{0} \right |+...+k^{n}\left | x_{1} - x_{0} \right |\\ =\frac{k^{n}-k^{n+p}}{1-k}\left | x_{1}-x_{0} \right |\leq \frac{k^{n}}{1-k}\left | x_{1}-x_{0} \right |\rightarrow0\\ \therefore \lim_{n\rightarrow \infty}x_{n}=x^{t}\\ ii):x_{n+1}=f\left ( x_{n} \right ),令n\rightarrow\infty,x^{t}=f\left ( x^{t} \right )\\ 唯一性：若\exists y^{t},st.f\left ( y^{t} \right )=y^{t};\\ \left |f\left (x^{t} \right )-f\left ( y^{t} \right ) \right |\leq k\left | x^{t}-y^{t} \right |\\ \therefore \left | x^{t}-y^{t} \right |\leq k\left | x^{t}-y^{t} \right |\Rightarrow\left ( 1-k \right )\left ( x^{t}-y^{t} \right )\leq 0\\ 又\because k\in \left ( 0,1 \right )\therefore x^{t}=y^{t}\\ iii):\left | x_{n+p} - x_{n} \right |\leq \frac{k^{n}}{1-k}\left | x_{1}-x_{0} \right |,令p\rightarrow \infty,则\left | x^{t}-x_{n} \right |\leq \frac{k^{n}}{1-k}\left | x_{1}-x_{0} \right |\\ 证明：i):∣xn+1−xn∣=∣f(xn)−f(xn−1)∣≤k∣xn−xn−1∣≤...≤kn∣x1−x0∣考虑∣xn+p−xn∣=∣xn+p−xn+p−1+xn+p−1−xn+p−2+...+xn+1−xn∣≤∣xn+p−xn∣+...∣xn+1−xn∣≤kn+p−1∣x1−x0∣+...+kn∣x1−x0∣=1−kkn−kn+p∣x1−x0∣≤1−kkn∣x1−x0∣→0∴n→∞limxn=xtii):xn+1=f(xn),令n→∞,xt=f(xt)唯一性：若∃yt,st.f(yt)=yt;∣ ∣f(xt)−f(yt)∣ ∣≤k∣ ∣xt−yt∣ ∣∴∣ ∣xt−yt∣ ∣≤k∣ ∣xt−yt∣ ∣⇒(1−k)(xt−yt)≤0又∵k∈(0,1)∴xt=ytiii):∣xn+p−xn∣≤1−kkn∣x1−x0∣,令p→∞,则∣ ∣xt−xn∣ ∣≤1−kkn∣x1−x0∣
注： ∣ f ( x ) − f ( y ) ∣ ≤ k ∣ x − y ∣ “ L i p s c h i t z 条件”； ∣ f ( x ) − f ( y ) ∣ ≤ k ∣ x − y ∣ ⇒ f ( x ) ∈ C ( R ) < 连续 > ； C a u c h y 收敛准则 注：\left |f\left ( x \right )-f\left ( y \right ) \right |\leq k\left | x-y \right |“Lipschitz条件”；\\ \left |f\left ( x \right )-f\left ( y \right ) \right |\leq k\left | x-y \right |\Rightarrow f\left ( x \right )\in C\left ( R \right )<连续>；\\ Cauchy收敛准则\\ 注：∣f(x)−f(y)∣≤k∣x−y∣“Lipschitz条件”；∣f(x)−f(y)∣≤k∣x−y∣⇒f(x)∈C(R)<连续>；Cauchy收敛准则
5 、运用重要极限；根据常用极限进行推导 : 5、运用重要极限；根据常用极限进行推导: 5、运用重要极限；根据常用极限进行推导:
6 、泰勒展开式求极限： 泰勒公式是将在 x = x 0 处具有 n 阶导数的函数 f ( x ) ， 利用关于 ( x − x 0 ) 的 n 次多项式来逼近函数的方法； 6、泰勒展开式求极限：\\ 泰勒公式是将在x=x _{0}处具有n阶导数的函数f\left (x\right )，\\利用关于(x-x _{0})的n次多项式来逼近函数的方法； 6、泰勒展开式求极限：泰勒公式是将在x=x0处具有n阶导数的函数f(x)，利用关于(x−x0)的n次多项式来逼近函数的方法；
1 ) T h : 若 f ( x ) 在 [ a , b ] 内 ∃ n 阶连续导数 , ∀ x 0 ∈ [ a , b ] 有， f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) + . . . + f n ( x 0 ) n ! ( x − x 0 ) n + o ( ( x − x 0 ) n ) → p e a n a 余项 ， f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) + . . . + f n ( x 0 ) n ! ( x − x 0 ) n + f ( n + 1 ) ( ξ ) ( n + 1 ) ! ( x − x 0 ) n + 1 L a g r a n g e 余项 → 对逼近误差，计算 / 估计 ; ξ = x 0 + θ ( x − x 0 ) ， θ ∈ ( 0 , 1 ) 逼近理论： f ( x ) = T n ( x ) + R n ( x ) 2 ) M a c l a u l i n 公式： f ( 0 ) = f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) x + . . . + f n ( 0 ) n ! x n + o ( x n ) → p e a n a 余项 3 ) e x = 1 + x + x 2 2 ! + . . . + x n n ! + o ( x n ) 1)Th:若f\left ( x \right )在\left [ a,b \right ]内\exists n阶连续导数,\\ \forall x_{0}\in \left [ a,b \right ]有，f\left ( x \right )=f\left ( x_{0} \right )+f^{'}\left ( x_{0} \right )\left ( x-x_{0} \right )+...+\frac{f^{n}\left ( x_{0} \right )}{n!}\left ( x-x_{0} \right )^{n}+\underset{\rightarrow peana余项}{o\left ( \left ( x-x_{0} \right )^{n} \right )}，\\ f\left ( x \right )=f\left ( x_{0} \right )+f^{'}\left ( x_{0} \right )\left ( x-x_{0} \right )+...+\frac{f^{n}\left ( x_{0} \right )}{n!}\left ( x-x_{0} \right )^{n}+\underset{ Lagrange余项\rightarrow对逼近误差，计算/估计}{\frac{f^{\left ( n+1 \right )}\left ( \xi \right )}{\left ( n+1 \right )!}\left ( x-x_{0} \right )^{n+1}};\xi =x_{0}+\theta \left ( x-x_{0} \right )，\theta \in\left ( 0,1 \right )\\ 逼近理论：f\left ( x \right )=T_{n}\left ( x \right )+R_{n}\left ( x \right )\\ 2)Maclaulin公式：f\left ( 0 \right )=f\left ( 0 \right )+f^{'}\left ( 0 \right )x+...+\frac{f^{n}\left ( 0 \right )}{n!}x^{n}+\underset{\rightarrow peana余项}{o\left ( x^{n} \right )}\\ 3)e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+...+\frac{x^{n}}{n!}+o\left ( x^{n} \right )\\ 1)Th:若f(x)在[a,b]内∃n阶连续导数,∀x0∈[a,b]有，f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+...+n!fn(x0)(x−x0)n+→peana余项o((x−x0)n)，f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+...+n!fn(x0)(x−x0)n+Lagrange余项→对逼近误差，计算/估计(n+1)!f(n+1)(ξ)(x−x0)n+1;ξ=x0+θ(x−x0)，θ∈(0,1)逼近理论：f(x)=Tn(x)+Rn(x)2)Maclaulin公式：f(0)=f(0)+f′(0)x+...+n!fn(0)xn+→peana余项o(xn)3)ex=1+x+2!x2+...+n!xn+o(xn)
7 、积分中值定理（积分第一定理、推广定理、积分第二定理 ) ; 7、积分中值定理（积分第一定理、推广定理、积分第二定理); 7、积分中值定理（积分第一定理、推广定理、积分第二定理);
8 、 s t o l z 定理： S t o l z 定理处理数列不定式极限， 一般用于 ∗ / ∞ 型的极限 ( 即分母趋于正无穷大的分式极限，分子趋不趋于无穷大无所谓 ) 、 0 / 0 型极限 ( 此时要求分子分母都以 0 为极限 ) 8、stolz定理：\\Stolz定理处理数列不定式极限，\\一般用于*/∞型的极限(即分母趋于正无穷大的分式极限，分子趋不趋于无穷大无所谓)、\\0/0型极限(此时要求分子分母都以0为极限) 8、stolz定理：Stolz定理处理数列不定式极限，一般用于∗/∞型的极限(即分母趋于正无穷大的分式极限，分子趋不趋于无穷大无所谓)、0/0型极限(此时要求分子分母都以0为极限)
9 、托普利兹变换 ; 9、托普利兹变换; 9、托普利兹变换;
10 、阿贝尔变换 ; 10、阿贝尔变换; 10、阿贝尔变换;
11 、化为定积分 ; 11、化为定积分; 11、化为定积分;
12 、级数收敛： 1 ) ∑ a n 收敛 ⇒ a n → 0 2 ) a n 收敛 ⇔ ∑ ( a n + 1 − a n ) 收敛 3 ) { t n } 有界，若 ∣ x n ∣ 满足 ∣ x n + 1 − x n ∣ ≤ t n + 1 − t n 则 x n 收敛 12、级数收敛：\\1) \sum a_{n}收敛\Rightarrow a_{n}\rightarrow 0\\ 2)a_{n}收敛\Leftrightarrow \sum \left ( a_{n+1} -a_{n}\right )收敛\\3)\left \{t _{n} \right \}有界，若\left | x_{n} \right |满足\left | x_{n+1}-x_{n} \right |\leq t_{n+1}-t_{n}则x_{n}收敛 12、级数收敛：1)∑an收敛⇒an→02)an收敛⇔∑(an+1−an)收敛3){tn}有界，若∣xn∣满足∣xn+1−xn∣≤tn+1−tn则xn收敛
13 、上下极限 ; 13、上下极限; 13、上下极限;
14 、傅里叶级数 ; 14、傅里叶级数; 14、傅里叶级数;
15 、幂级数求和 ; 15、幂级数求和; 15、幂级数求和;
16 、无穷乘积 16、无穷乘积 16、无穷乘积