RSA算法

RSA算法定义

(1) 选择两个不同的⼤素数p和q；
(2) 计算乘积 n=pq 和 Φ(n)=lcm(p-1,q-1)；注：lcm即最小公倍数
(3) 选择⼤于1⼩于Φ(n)的随机整数e，使得gcd(e,Φ(n))=1；注：gcd即最⼤公约数。
(4) 计算de=1mod Φ(n)；注：即d使得de mod Φ(n) =1。
(5) 对每⼀个密钥k=(n,p,q,d,e)，定义加密变换为Ek(x)=x^e mod n，解密变换为Dk(x)=y^d mod n，这⾥x,y∈Zn；
(6) p,q销毁，以{e,n}为公钥，{d,n}为私钥。
(7) RSA密码体制既可以用于加密又可以用于数字签名。下面介绍RSA数字签名的功能。
私钥签名，公钥验签。
1.签名：对于消息m签名为：sign ≡ m^d mod n
2.验签：对于消息签名对（m，sign），如果m ≡ sign^e mod n，则sign是m的有效签名

计算实例

步骤1、 假设p = 3、q = 11（p，q都是素数即可。），则n= pq = 33；
r =Φ(n)= (p-1)(q-1) = (3-1)(11-1) = 20；
步骤2、 根据gcd(e,Φ(n))=1，即gcd(e,20)=1，令e=3，则，d = 7。（两个数交换⼀下也可以。）
步骤3、 到此，公钥和密钥已经确定。公钥为(N, e) = (33, 3)，密钥为(N, d) = (33, 7)。
步骤4、 加密时，如果明文 x=20 , 密文 Ek(x) = Ek(20) = 20³ mod 33 = 14
步骤5、 解密时，密文 y = 14, 明文 Dk(x) = 14⁷ mod 33 = 20

加密与签名的比较

第一个场景：B要给A传递一条消息，内容为某一指令。

RSA的加密过程如下：

（1）A生成一对密钥（公钥和私钥），私钥不公开，A自己保留。公钥为公开的，任何人可以获取。

（2）A传递自己的公钥给B，B用A的公钥对消息进行加密。

（3）A接收到B加密的消息，利用A自己的私钥对消息进行解密。

在这个过程中，只有2次传递过程，第一次是A传递公钥给B，第二次是B传递加密消息给A，即使都被敌方截获，也没有危险性，因为只有A的私钥才能对消息进行解密，防止了消息内容的泄露。

第二个场景：A收到B发的消息后，需要进行回复“收到”。

RSA签名的过程如下：

（1）A生成一对密钥（公钥和私钥），私钥不公开，A自己保留。公钥为公开的，任何人可以获取。

（2）A用自己的私钥对消息加签，形成签名，并将加签的消息和消息本身一起传递给B。

（3）B收到消息后，在获取A的公钥进行验签，如果验签出来的内容与消息本身一致，证明消息是A回复的。

在这个过程中，只有2次传递过程，第一次是A传递加签的消息和消息本身给B，第二次是B获取A的公钥，即使都被敌方截获，也没有危险性，因为只有A的私钥才能对消息进行签名，即使知道了消息内容，也无法伪造带签名的回复给B，防止了消息内容的篡改。

两个场景的比较

• 第一个场景虽然被截获的消息没有泄露，但是可以利用截获的公钥，将假指令进行加密，然后传递给A。
• 第二个场景虽然截获的消息不能被篡改，但是消息的内容可以利用公钥验签来获得，并不能防止泄露。

在实际应用中，要根据情况使用，也可以同时使用加密和签名，比如A和B都有一套自己的公钥和私钥，当A要给B发送消息时，先用B的公钥对消息加密，再对加密的消息使用A的私钥加签名，达到既不泄露也不被篡改，更能保证消息的安全性。

参数选择

RSA参数(p和q)的选择

• p和q要⾜够⼤
• p和q应为强素数。如p满⾜以下三个条件，即为强素数：
  1. p-1有⼤素数因⼦r
  2. p+1有⼤素数因⼦s
  3. r-1有⼤素数因⼦t
• p和q的差不能太⼩
• p-1和q-1的最⼤公因数应很⼩

RSA参数(公钥e)的选择

• e不能太⼩；
• 最好选择e为modΦ(n)的阶数，即需要使 i 的值尽量⼤才能使得 e i ≡ (mod Φ(n)) 成⽴。
• i 等于(p-1)(q-1)/2是最好的。
• ⼀般建议取e=216+1=65537

RSA的安全性

RSA面临的安全问题

1. 如果RSA的p，q被成功分解就可以立即获取φ(n)，从而可以通过d ≡e^-1 mod φ(n) 快速幂求取乘法逆元获取私钥d。
2. 经过较长时间的发展，如今被破解的最长RSA密钥是768个二进制位，目前密钥长度介于1024~2048比特之间的RSA密钥是安全的
3. 为保证RSA算法的安全性，对p，q提出以下要求：
   & |p-q|要相对大
   & p-1和q-1都应有大素因子
   & 如果e

对RSA算法的攻击

1. 穷举攻击：这种⽅法试图穷举所有可能的私钥；
2. 数学攻击：有多种数学攻击⽅法，它们的实质都是试图分解两个素数的乘积。⼤合数的因⼦分解算法有：试除分解法，连分数分解法，p-1分解法，p+1分解法，⼆次筛选分解法，椭圆曲线分解法，代数域筛选分解法等；
3. 计时攻击：这类⽅法依赖于解密算法的运⾏时间；
4. 基于硬件故障的攻击：这种⽅法应⽤产⽣签名过程中处理器发⽣的故障；
5. 选择密⽂攻击：利⽤RSA的算法性质;
6. 共模攻击：由于⽬前⽣成⼤素数的速度还是⽐较慢的，造成有的⼈为了加快算法速度⽽选择同样的⼤素数，也就是相同的模数，只是选择不同的密钥。这样做虽然加快了速度，但也给RSA算法带来了安全隐患。

参考链接：

1. https://www.cnblogs.com/wl-blog/p/14898801.html
2. https://blog.csdn.net/qq_37469055/article/details/116381345
3. https://wenku.baidu.com/view/661e61a401d276a20029bd64783e0912a2167c03.html
4. https://wenku.baidu.com/view/a86cedfdd25abe23482fb4daa58da0116d171f40.html?fr=income1-wk_app_search_ctr-search
5. https://blog.csdn.net/sinrier/article/details/118637154