北山杉林
北山杉林

证明高斯滤波是低通滤波

傅里叶变换和逆变换公式：

\hat f(\xi )=\int_{-\infty }^{+\infty}f(x)e^{-2\pi jx \xi}dx

f(x)=\int_{-\infty }^{+\infty}\hat f(\xi)e^{2\pi jx \xi}d\xi

\xi的单位是赫兹，转换为角频率，即\omega = 2\pi \xi，傅氏变换和逆变换形式为：

\hat f(\omega )=\int_{-\infty }^{+\infty}f(x)e^{-jx\omega}dx

f(x)=\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty }^{+\infty}\hat f(\omega)e^{jx \omega}d\omega

以标准高斯分布（均值为0，方差为1）为例：

f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{x^2}{2\sigma ^2}}

高斯分布函数的傅里叶变换：

\begin{aligned} \hat f(x) &=\int_{-\infty }^{+\infty}f(x)e^{-jx\omega}dx\\ &= \int_{-\infty }^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{x^2}{2\sigma ^2}}e^{-jx\omega}dx\\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty }^{+\infty}e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(x+\sigma^2 \omega j)^2-\frac{\sigma^2 \omega^2}{2}}dx\\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{\sigma^2 \omega^2}{2}}\int_{-\infty }^{+\infty}e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(x+\sigma^2 \omega j)^2}dx\\ &=\xrightarrow{u=\frac{1}{\sqrt{2}\sigma}(x+\sigma^2 \omega j)} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{\sigma^2 \omega^2}{2}}\int_{-\infty }^{+\infty}e^{-u^2}\sqrt{2}\sigma du\\ &=\frac{1}{\sqrt{\pi}}e^{-\frac{\sigma^2 \omega^2}{2}}2\int_{0}^{+\infty}e^{-u^2}du\\ &=e^{-\frac{\sigma^2 \omega^2}{2}} \end{aligned}

绘制变换后的函数图像如下图所示（横轴表示\omega）：

证明高斯滤波是低通滤波_第1张图片

（二维高斯卷积同上）

 红色表示\sigma =1，蓝色表示 \sigma =2，绿色表示\sigma =3。由曲线可以看出，当\sigma越大时，曲线越陡，对高频信息舍弃更为严重，滤波后图像更为模糊。

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  • 程序员在编程中遇到的奇葩弱智问题 tomcat_oracle jquery编程ide
    　　现在收集一下：       　　排名不分先后，按照发言顺序来的。   1、Jquery插件一个通用函数一直报错，尤其是很明显是存在的函数，很有可能就是你没有引入jquery。。。或者版本不对 2、调试半天没变化：不在同一个文件中调试。这个很可怕，我们很多时候会备份好几个项目，改完发现改错了。有个群友说的好：   在汤匙
  • 解决maven-dependency-plugin (goals "copy-dependencies","unpack") is not supported xp9802 dependency
    解决办法：在plugins之前添加如下pluginManagement，二者前后顺序如下：   [html]  view plain copy   <build>           <pluginManagement
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