理解线性变换和基(坐标)变换

一.理解

向量和基的意义

向量和基都是客观存在的事物,不同的基表示不同的尺度度量.

坐标系,向量,线性变换的表示都是依赖于基的,选择不同的基(客观存在的事物),相同的坐标实际上是不同的客观事物.

• 如线性变换A2002,是说将当前i,j基的长度增加2倍,线性变换描述的是对原基的变换策略. 
• 如向量x10,是说该向量是当前i,j基的线性组合:1∗i+0∗j. 

线性变换

如向量的坐标变换 Ax = 200210 = 20 = .这里需要注意了,y的坐标20表示的是使用线性变换前的基来表示线性变换后的向量客观事物,实际上根据线性变换不改变线性组合的性质,在新基下该向量客观事物的坐标其实依然是10,不过这个坐标10所衡量的客观事物和原坐标系的20衡量的客观事物相同.因此,线性变换后的向量使用原坐标系表示的. 

可以看到,其实线性变换依然是改变了基(实际上是线性空间映射,映射后的空间的基即为线性变换后的基),不过线性变换主要用于描述向量的变化,是希望使用相同的坐标系来描述变换前后的向量.

基(坐标)变换

再来瞧瞧基(坐标)变换的表达公式:

基变换表达的观点在于: 使用不同的坐标系描述相同的向量(客观存在).

先来看看过渡矩阵P的含义,E2 = E1*P,即E2中的每个基在E1中的坐标为P的列向量,是使用原基E1来度量了新基E2

P−1x = y,其中x的向量V在E1下的坐标表达,P是E1到E2的过渡矩阵,即P是E2的基在E1下的坐标表示. P−1x = y求得的y是相同的向量V在新基E2下的坐标表示y.P =  2002,P−1= 120012,   
  12001210 = 120,即相同的向量V客观事物,在E2下的坐标表达为120,这是完全正确的. 

再来理解Py = x的例子,y为E2下的坐标120,为E1到E2的过渡矩阵  2002,则Py = 2002120 = 10,则求出了V在E1下的坐标表示. 

再来理解Px = y的例子,可以将P理解为线性变换,即计算坐标向量V1在P线性变换后的V2在E1下的坐标表示,

可以将过渡矩阵P理解为1个在E1下的线性变换,则由P描述的线性变换Px = y, 200210 = 20,的坐标依然是由E1来表示的.因此1个基变换,实际上对应着1个线性变换.这个线性变换使用原基来度量该线性变换后的向量.
但是,基变换的初衷并不是为了描述向量的变换,而是为了从不同的基下看相同的客观存在(向量). 

总结

相同点:  线性变换和坐标变换都改变了基的客观存在,都用旧基描述新基.

线性变换和坐标都可以表示为矩阵乘法的形式.

1个基变换对应着1个线性变换,1个可逆的线性变换对应着1个基变换.

不同点: 线性变换主要描述线性空间(向量)的变换,变换前后使用相同的坐标系描述向量.

      基变化主要使用不同的坐标系描述相同的客观事物(向量),变换前后使用不同的坐标系描述向量.

矩阵乘法

下面主要从矩阵乘法的角度来区分线性变换和基变换.

Ax = y,假设存在向量V,基底为E1,向量V在E1下的坐标表示为x.

• 线性变换: 同一坐标系中,将原线性空间映射到A的列向量为基(由原基E1表示)的线性空间中后,向量V经过线性映射(变换)后,如旋转,拉伸后新向量V2在原坐标系下的坐标表示y
• 坐标变换: 同一线性空间中,计算同1不变的向量V在新基E2下的坐标表示y, 其中A = P−1, 其中P为E1到E2的过渡矩阵,有E2 = E1P, 

 假设P为正交矩阵,P−1=PT,则可以将Ax=y,理解为计算向量V在由A的行向量为新基E2下的坐标表示. 

为什么将x转换为由A的行向量为基的坐标系中?

其中 y = P−1 * x, (其中A为x坐标系到y坐标系的过渡矩阵P),如果A为正交矩阵,则A逆 = A的转置,所以有 

将x转换为由A的行向量为基的坐标系中.

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