求过渡矩阵的方法及例题_“拨开迷雾”，如何判定矩阵相似？

相似矩阵有很多性质，如行列式相等、秩相等、矩阵之迹相等、矩阵特征多项式相等、矩阵特征值相等、等等。但是，仔细分析，你会发现这些性质按照所写顺序都是矩阵特征值的弱化条件，也就是说，全都可以看作是特征值的判定；其实，矩阵特征值也是相似的弱化条件（因为除了特征值，还有特征向量尚未考虑!），那么，是不是有更进一步的能够表征相似的强化条件呢？野心大一点，是不是有能够直接推出来矩阵相似的完备条件——相似的充分条件！这就需要考虑特征向量了！

我们将从以下两方面阐述相似：

1.相似矩阵的本质是什么？

2.确定相似矩阵的强化判定条件

3.例题分析

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1.相似矩阵的本质是什么？

相似矩阵定义如下：

设

为

阶矩阵，如果有

阶可逆矩阵

存在，使得

则称矩阵

与

相似，记为

。

相似矩阵定义虽然简单，但是却让人无法直观的感受出来相似到底是什么关系！

先来介绍一下坐标代换公式：

我们知道，对于任意一个

维列向量是包含于

维向量空间（例如三阶列向量必然包含于三维向量空间中），取

个线性无关的

维列向量，那么，任意的

维列向量均可由这个

个向量线性表示，称这

个向量为向量空间的一组基，线性表示的系数为坐标；显然，选取不一样的基，坐标不一样。

实现基变换的矩阵为 过渡矩阵

(显然，过渡矩阵可逆)，例如，设

维向量空间

的一组基为

，另一组基为

，则有

设任一

维列向量

在基

和

的坐标分别是

和

于是

将

代入

中,得

此即为坐标代换公式！

对于

式，你即可以看作是同一个向量在两组不同基中的坐标变换；

！

线性变换是一种“运动”，在这里，你可以机械的认为，就是一个向量变成另一个向量过程中的变换矩阵（具体可查阅如何理解线性代数？）

我们借助以上概念分析相似矩阵！

我们设列向量

和

在基

内的坐标表示分别是

和

，即

两向量在基

之中存在线性变换等式

再设列向量

和

在基

内的坐标表示分别是

和

，即

两向量在基

之中存在线性变换等式

结合

，消去所有的坐标与向量，得

式（8）是相似矩阵的定义！

是两个向量在两组基内的同一个线性变换！

为两组基的过渡矩阵!

所以，两个相似矩阵指的就是在不同基中的同一个线性变换！

同一个向量在不同坐标系（不同基）中的坐标表示虽然不一样，但本质上是指的同一个向量；

同一个运动过程（线性变换）在不同坐标系（不同基）中的表示矩阵（相似矩阵）虽然不一样，但实质上是指的同一个运动过程（线性变换！）（分析那么多，就为了这一句话！！！）——这就是相似矩阵的本质！

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2.确定相似矩阵的强化判定条件

在考研范围内的相似考察一般分为可对角化的矩阵和不可对角化的矩阵！需要注意的是只要给定具体的矩阵，便可以求出其对应得特征值与特征向量（具体可参照破天学长：“绝境之下”，如何求解矩阵的特征值？）！

• 对于可对角化的矩阵，根据相似矩阵的传递性可知，仅需要判断其是否有相同的特征值即可！
• 而不可对角化的矩阵，由于不可对角化，所以，还需要判定特征向量！

给定不可对角化矩阵

，假设

,则

,有

，则，

，则，

根据以上推导可知，如果矩阵

，那么，

和

的矩阵特征值必然相等，且对应的特征向量满足：

对应于特征值

的特征向量为

，

对应于特征值

的特征向量为

。

但是，判定特征向量需要求出可逆矩阵

，这是很难的！

*不过，通过以上推导，我们可以得到一个强化一点的条件——两个相似矩阵对应于同一个特征值的特征向量的个数是相等的！！！

毋庸置疑，这是不可对角化矩阵判断相似性的考点，如此，我们规范判定相似的步骤！我们举一个例题来介绍一下！

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3.例题分析

例题：和矩阵

相似的矩阵（）

解析：着眼于特征值与特征向量

-特征值相等——矩阵之迹和矩阵之秩相等 -对应特征值的特征向量个数相等——

之秩相等 故，按照如下步骤判定相似 -1.判定矩阵之迹 -2.判定矩阵之秩（判定行列式是否为0） -3.判定特征值（求解特征值） -4.判定

之秩

• 的迹是9，然后发现四个选项迹全为9，失效；
• 的行列式为20，
  行列式为15，
  行列式为20，去掉选项A；
• 的特征值为2、2、5，
  行列式为2、2、5，失效；
• 单一特征值必有一个特征向量，所以，5不必考虑；二重特征根2，代入，有

，易知

;

，易知

，易知

，易知

显然，仅有

;

于是，仅有选择C。

一般来说，这种选择题，都会用到判别特征多项式秩的判别！这是考研考察相似的最深层次的考法，希望大家按照这个顺序来分析这个题，熟练掌握，那么这就会是一个送分题！