【机器人学】平面2R机器人（一）——正运动学

题目

图 1 所示为一个平面 2R 机器人，以及机器人广义坐标和关节力矩的定义。机器人 2 个连杆的质量均匀分布，长度都为 ，质量都为 。末端执行器笛卡尔坐标为 。

图 1  平面2R机器人操作手

以上述机器人为对象，完成如下任务：

1. 求机器人连杆绕其质心的转动惯量。

2. 求机器人的 D-H 参数表，根据 D-H 参数表写出变换矩阵 、、 矩阵；再用指数积方法计算变换矩阵 ，并和 D-H 方法计算结果作对比。

3. 用矢量积方法、微分变换法、指数积方法中的任一种计算机器人的速度雅可比矩阵。

4. 以图示  和  为广义坐标， 和  为关节驱动力矩，求机器人的动力学方程，给出推导过程，并验证惯性矩阵和机器人动能的关系。

5. 利用 MATLAB 编程仿真上述平面 2R 机器人的动力学系统，完成如下任务：

    (1) 当机器人初始姿态为 ， 时，分别画出关节力矩  和  时，机器人的关节角度、角速度、角加速度以及末端执行器笛卡尔坐标的轨迹图（步长0.01s，时长2s的仿真）。

    (2) 当机器人初始姿态为 ，关节力矩  时，画出机器人的关节角度、角速度、角加速度以及末端执行器笛卡尔坐标的轨迹图；以及画出机器人速度雅可比矩阵的行列式值的时间轨迹图，分析机器人靠近奇异位形的程度（步长0.01s，时长2s的仿真）。

    (3) 当机器人初始姿态为 ，末端执行器在笛卡尔空间的线速度指令为（常数），仿真时间步长0.01s，仿真时间长度6s。利用计算力矩控制规则实现机器人末端执行器的线速度指令运动，画出机器人的关节力矩、角度、角速度、角加速度、末端执行器笛卡尔坐标和线速度的时间轨迹图；以及画出机器人雅可比矩阵的行列式值的时间轨迹图，分析机器人靠近奇异位形的程度。

解答

计算转动惯量

问题：求机器人连杆绕其质心的转动惯量。

图 2  连杆模型

单个连杆模型如图 2 所示，其绕质心的转动惯量计算方法如下：

所以 。

两种方法计算变换矩阵

问题：求机器人的 D-H 参数表，根据 D-H 参数表写出变换矩阵 ​​​​​​​​​​​​​​、、 矩阵；再用指数积方法计算变换矩阵 ，并和 D-H 方法计算结果作对比。

D-H法

首先对机器人进行如下图 3 的建系。

图 3  机器人坐标系

各关节轴线垂直于平面，规定  ​​​​​​​轴与关节  轴线重合，且方向为从纸面向外；轴线间的公垂线  沿实体连杆方向，规定  轴与公垂线  重合，方向从关节  指向关节 ；根据右手法则确定  轴。规定与世界坐标系O-XY重合，末端坐标系  与  仅有固定的平移变换。

机器人的 D-H 参数如下表 1 所示。

表1 D-H连杆参数表

				​​​​​​​	关节变量取值范围
1
2
3	​​​​​​​				-

 其中 ，。建立变换矩阵如下所示：

 

所以，

指数积方法

两个关节轴线的线矢量方向和取关节上的一点如下：

查表得：

所以，

可以看到，指数积方法计算的结果  与 D-H 方法求解的结果  相等，即：

末端执行器变换矩阵

未完待续...

【机器人学】平面2R机器人（二）——逆运动学