线性代数感悟之4 通过增广矩阵查看解的情况上篇

最近在看 liuyubobobo 的  线性代数 课，感觉很妙，有些感悟记录一下~~~

通过增广矩阵查看解的情况：

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主元(首元)定义：非零行的第一个元素。

什么是阶梯形矩阵？

感性定义：可以画个阶梯，阶梯下面都是0

理性定义：

1.  有全零行的话，一定是在矩阵的最下方

2.  主元的位置，随着行号的递增，向右偏。

3.  阶梯下方的元素都是0

如果在阶梯型矩阵的条件下，继续满足一个条件：

    4.  主元为1，且主元所在列其他元素为0。

那么 这样的矩阵称之为，rref(行最简形式)，

以下两个矩阵，都满足RREF的定义：

分析：

1 首先它是一个阶梯形矩阵

2 主元为1，且主元所在列其他元素为0。

以下矩阵不是行最简形式：

分析：

第一个是阶梯型矩阵，但是不满足：主元为1，且主元所在列其他元素为0。

第二个和第三个，不是阶梯型矩阵。

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接下来将增广矩阵变化成行最简形式，再来判断解的的结构。

首先给出定义：

系数矩阵：这个矩阵只包括原方程组的系数，没有等式右侧的那个常数。（及虚线左边的矩阵）

下图中的A就表示 “系数矩阵”，而未知数的个数就是看，系数矩阵有几列。

这里还有个，行最简形式的非零行，就是整个矩阵的非零行。’

​由于对比的是系数矩阵和整个矩阵，而系数矩阵是被包含在整个矩阵之内的。

 所以非零行的个数，只可能是系数矩阵的个数小于等于整个矩阵的个数（不可能大于）。 

那么先看非零行是否一致，不一致的话（不相等），那绝对小于。此时无解。 

如果一致，再看是有唯一解还是无数解。

 小结： 

• 1 最重要的就是系数矩阵的非零行个数 

• 2 先对比非零行是否一致，不一致，无解（一致就在往下看） 

• 3 再看未知数个数，判断有几个解 

           3.1  如果  未知数个数=A非零行，那此时，A就是一个单位矩阵了！所以一定是唯一解

           3.2  如果 A非零行<未知数个数 此时无数解

           3.3  不存在 A非零行>未知数个数 的情况：画一下，就知道了，如果非零行大于列数（及未知数个数），那就不满足阶梯矩阵了！