基于matlab环境下的自定义fft函数实现
名称：
基于matlab环境下的fft函数实现
目的：
初步掌握matlab编程，实现fft函数，掌握数字信号处理中各种频率的基本关系，掌握窗函数的使用及其原理。
过程：
FFT是通过蝶形运算实现快速计算DFT的函数。
程序流程：
一：实现序列的倒序
1：输入序列X;
2：计算序列的长度；
3：求出序列长度的对数；
4：设置中介序列Y;
5：设置模拟值K进行比较运算实现序列X倒序并存储到序列Y中。
二：进行蝶形运算
主要计算旋转因子和蝶形运算等级
三：结果输出
数据：
一：频率不同的正弦序列输入：
Y=sin(（π/5）n+π/4)
取采样频率fs=1000Hz ;采样点数N为1024;则采样分辨率∆f=fs/N ;时间序列t=n/fs ；（其中n为1-1024的整数序列），真实频率f=100Hz
输出数据：
图3
Y=sinπ（（π/5）n+π/4）
取采样频率fs=1000Hz ;采样点数N为512;真实频率f=100Hz 输出数据：
图4
Y=sin(（3π/10）n+π/4)
取采样频率fs=1000Hz ;采样点数N为1024;真实频率f=150Hz
输出数据：
图5
Y=sin(（39π/100）n+π/4)
取采样频率fs=1000Hz ;采样点数N为1024;真实频率f=195Hz
输出数据：
图6
Y=sin(（3π/5）n+π/4)
取采样频率fs=1000Hz ;采样点数N为1024;真实频率f=300Hz
输出数据：
图7
Y=sin(（233π/250）n+π/4)
取采样频率fs=1000Hz ;采样点数N为1024;真实频率f=466Hz
输出数据：
图8
与随机序列相同，将两组输出数据放置同一图像中，易见两数据相同。
三.同频率信号在不同窗函数下在的区别
Y=sin（（π/5）n+π/4）
黑：矩形窗
红：汉宁窗
蓝：海明窗
当窗函数取整周期时：
取采样频率fs=1000Hz ;采样点数N为1000。
图9
矩形窗后的信号能量值：Ex1 =500.0000
汉宁窗后的信号能量值：Ex2 =187.3125
海明窗后的信号能量值：Ex3 =198.5045
当窗函数取非整周期时：
取采样频率fs=1000Hz ;采样点数N为1024。
图10
矩形窗后的信号能量值：Ex1 =512.4755
汉宁窗后的信号能量值：Ex2 =191.8125
海明窗后的信号能量值：Ex3 =203.2763
讨论与分析
fft后频域图，幅频关于fs/2偶对称，相频关于fs/2奇对称，因此画频域图时支取采样分辨率的一半即可。
FFT、DFT的计算量比较：
直接DFT计算复数加法次数为N*(N-1);复数乘法次数为N*N；
而DIT_FFT计算复数加法次数为
;复数乘法次数为N*log2N 。
（在matlab中只有序列的长度
时，傅里叶变换采用FFT，若长度不满足条件则采用DFT，所以取样时保证采样点个数等于 可提高运算速度）
正弦函数数字域频率、真实频率、采样率之间的关系：
窗的影响：
对于截取后的序列仍为周期序列，理论上则不会产生截断效应即采用矩形窗误差更小；对于截取后的序列不为周期序列，采用合理的窗函数后可有效减少截断效应;
加窗后会使信号的幅值失真即能量变小;
主瓣越窄的窗函数的频率识别精度越高；旁瓣衰减越大的窗函数的幅度识别精度越高。
海明窗与汉宁窗相比，能量更集中于主瓣
倒位序：将数n的二进制码的位序颠倒后的数。
倒位序的实现方法：0的倒位序为0，所以我们从第一个数开始逐步求出序列的所有倒位序，将该位数的二进制数与其最高位相比较（也就是N/2的二进制数，N为序列的长度），若小于最高位，下一个数则等于该数的最高位加1；若不小于最高位，则先将该数的最高位减1，再将结果数与次高位相比较……其中N/2为特殊序列，这时可将其直接等于1。
蝶形运算：
设序列x(n) 的序列长度为N，对其进行DFT则
（k=0，1，2……N-1;）,若将N非为奇数序列与偶数序列
可得x(n)的前半部分的DFT变换，复数乘法计算量为
与直接DFT相比计算量减少了一半，后半部分为
由于后半部分与前半部分的区别只存在于旋转因子的正负，所有后半部分的复数乘法计算量可忽略不计。
最小蝶形运算单元。
上述为将序列按奇偶分为了2部分，若再将x1(r) 和x2(r) 再分为两部分，计算量将再次减少，如此不断的分解直到剩下最后的2点DFT， FFT完成。
旋转因子的确定：
旋转因子：
其中L为当前蝶形运算的级数；M为序列长度的对数；J=0,1,2…（2L-1-1） ；N为序列的长度。