小蓝本 第一本《因式分解技巧》 第二章 应用公式 笔记（第二天）

前言

第二天open

二代——应用公式

常见公式

(1) $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
(2)$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
(3)$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
(4)$a^2+2ab+b^2=(a+b{)}^2$
(5)$a^2-2ab+b^2=(a-b{)}^2$
(6)$a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3=(a+b{)}^3$
(7)$a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3=(a-b{)}^3$
(8)$a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c{)}^2$
(9)$a^4+a^2{b}^2+b^4=(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)$
(10)$a^6-b^6=(a+b)(a-b)(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)$
(11)aⁿ + bⁿ=(a+b)(a^n-1 - a^n-2b+a^n-3b^2 - … - ab^n-2+b^n-1) (n为正奇数)
(12)aⁿ - bⁿ=(a-b)(a^n-1 + a^n-2b+a^n-3b^2 + … + ab^n-2+b^n-1) （n为正奇数）

公式场景

1. 公式(1)理论上用的最多
2. 公式(2)、(3)符号极容易搞错，请注意
3. 公式(4)、(5) 是公式(8)的特例

公式分类

基本

1. 平方差: (1)
2. 完全平方：(4) (5) (8)
3. 立方和与立方差： (2) (3)
4. 完全立方：(6) (7)

平方式一般用十字相乘法解决 --> 见第五章

间接推导

(9) (10) (11) (12)

公式(9) 在第四章有另一种方式的推导

公式(9)、(10)的推导

问题

因式分解 $a^6-b^6$

分解方法

方法1

公式(3)+公式(1)
原式
$=(a^2{)}^3-(b^2{)}^3$
$=(a^2-b^2)(a^4+a^2{b}^2+b^4)$
$=(a+b)(a-b)(a^4+a^2{b}^2+b^4)$

方法2

公式(1)+公式(2)+公式(3)
原式
$=(a^3{)}^2-(b^3{)}^2$
$=(a^3+b^3)(a^3-b^3)$
$=(a+b)(a-b)(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)$

公式推导

∵$(a^2{)}^3-(b^2{)}^3=(a^3{)}^2-(b^3{)}^2$
∴$(a+b)(a-b)(a^4+a^2{b}^2+b^4)=(a+b)(a-b)(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)$
∴$a^4+a^2{b}^2+b^4=(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)$
∴公式(9)推导如此
∴$a^6-b^6=(a+b)(a-b)(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)$
∴公式(10)推导如此

总结：对照思想

因式分解同一个整式如果有多种走向，最终结果不一样时，对比一下，就可以得到新的公式

小技巧与注意事项

1. 因式分解中可能需要多次应用公式或提公因式，直到不能继续分解为止
2. 按某个字母的降幂排列是一个简单而有用的措施（简单的往往是有用的）

习题2

题目

题解

错题

13 14

经验

提升把代数式整体看成一个字母的意识