小蓝本 第一本《因式分解技巧》 第二章 应用公式 笔记(第二天)

小蓝本 第一本《因式分解技巧》 第二章 应用公式 笔记(第二天)

  • 前言
  • 二代——应用公式
    • 常见公式
    • 公式场景
    • 公式分类
      • 基本
      • 间接推导
  • 公式(9)、(10)的推导
    • 问题
    • 分解方法
      • 方法1
      • 方法2
      • 公式推导
      • 总结:对照思想
  • 小技巧与注意事项
  • 习题2
    • 题目
    • 题解
    • 错题
    • 经验

前言

第二天open

二代——应用公式

常见公式

(1) a 2 − b 2 = ( a + b ) ( a − b ) a^2-b^2=(a+b)(a-b) a2b2=(a+b)(ab)
(2) a 3 + b 3 = ( a + b ) ( a 2 − a b + b 2 ) a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) a3+b3=(a+b)(a2ab+b2)
(3) a 3 − b 3 = ( a − b ) ( a 2 + a b + b 2 ) a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) a3b3=(ab)(a2+ab+b2)
(4) a 2 + 2 a b + b 2 = ( a + b ) 2 a^2+2ab+b^2=(a+b)^2 a2+2ab+b2=(a+b)2
(5) a 2 − 2 a b + b 2 = ( a − b ) 2 a^2-2ab+b^2=(a-b)^2 a22ab+b2=(ab)2
(6) a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 = ( a + b ) 3 a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=(a+b)^3 a3+3a2b+3ab2+b3=(a+b)3
(7) a 3 − 3 a 2 b + 3 a b 2 − b 3 = ( a − b ) 3 a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=(a-b)^3 a33a2b+3ab2b3=(ab)3
(8) a 2 + b 2 + c 2 + 2 a b + 2 b c + 2 c a = ( a + b + c ) 2 a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)^2 a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2
(9) a 4 + a 2 b 2 + b 4 = ( a 2 + a b + b 2 ) ( a 2 − a b + b 2 ) a^4+a^2b^2+b^4=(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2) a4+a2b2+b4=(a2+ab+b2)(a2ab+b2)
(10) a 6 − b 6 = ( a + b ) ( a − b ) ( a 2 + a b + b 2 ) ( a 2 − a b + b 2 ) a^6-b^6=(a+b)(a-b)(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2) a6b6=(a+b)(ab)(a2+ab+b2)(a2ab+b2)
(11)an + bn=(a+b)(an-1 - an-2b+an-3b^2 - … - abn-2+bn-1) (n为正奇数)
(12)an - bn=(a-b)(an-1 + an-2b+an-3b^2 + … + abn-2+bn-1) (n为正奇数)

公式场景

  1. 公式(1)理论上用的最多
  2. 公式(2)、(3)符号极容易搞错,请注意
  3. 公式(4)、(5) 是公式(8)的特例

公式分类

基本

  1. 平方差: (1)
  2. 完全平方:(4) (5) (8)
  3. 立方和与立方差: (2) (3)
  4. 完全立方:(6) (7)

平方式一般用十字相乘法解决 --> 见第五章

间接推导

(9) (10) (11) (12)

公式(9) 在第四章有另一种方式的推导

公式(9)、(10)的推导

问题

因式分解 a 6 − b 6 a^6-b^6 a6b6

分解方法

方法1

公式(3)+公式(1)
原式
= ( a 2 ) 3 − ( b 2 ) 3 = (a^2)^3-(b^2)^3 =(a2)3(b2)3
= ( a 2 − b 2 ) ( a 4 + a 2 b 2 + b 4 ) =(a^2-b^2)(a^4+a^2b^2+b^4) =(a2b2)(a4+a2b2+b4)
= ( a + b ) ( a − b ) ( a 4 + a 2 b 2 + b 4 ) =(a+b)(a-b)(a^4+a^2b^2+b^4) =(a+b)(ab)(a4+a2b2+b4)

方法2

公式(1)+公式(2)+公式(3)
原式
= ( a 3 ) 2 − ( b 3 ) 2 =(a^3)^2-(b^3)^2 =(a3)2(b3)2
= ( a 3 + b 3 ) ( a 3 − b 3 ) =(a^3+b^3)(a^3-b^3) =(a3+b3)(a3b3)
= ( a + b ) ( a − b ) ( a 2 + a b + b 2 ) ( a 2 − a b + b 2 ) =(a+b)(a-b)(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2) =(a+b)(ab)(a2+ab+b2)(a2ab+b2)

公式推导

( a 2 ) 3 − ( b 2 ) 3 = ( a 3 ) 2 − ( b 3 ) 2 (a^2)^3-(b^2)^3=(a^3)^2-(b^3)^2 (a2)3(b2)3=(a3)2(b3)2
( a + b ) ( a − b ) ( a 4 + a 2 b 2 + b 4 ) = ( a + b ) ( a − b ) ( a 2 + a b + b 2 ) ( a 2 − a b + b 2 ) (a+b)(a-b)(a^4+a^2b^2+b^4)=(a+b)(a-b)(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2) (a+b)(ab)(a4+a2b2+b4)=(a+b)(ab)(a2+ab+b2)(a2ab+b2)
a 4 + a 2 b 2 + b 4 = ( a 2 + a b + b 2 ) ( a 2 − a b + b 2 ) a^4+a^2b^2+b^4=(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2) a4+a2b2+b4=(a2+ab+b2)(a2ab+b2)
∴公式(9)推导如此
a 6 − b 6 = ( a + b ) ( a − b ) ( a 2 + a b + b 2 ) ( a 2 − a b + b 2 ) a^6-b^6=(a+b)(a-b)(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2) a6b6=(a+b)(ab)(a2+ab+b2)(a2ab+b2)
∴公式(10)推导如此

总结:对照思想

因式分解同一个整式如果有多种走向,最终结果不一样时,对比一下,就可以得到新的公式

小技巧与注意事项

  1. 因式分解中可能需要多次应用公式或提公因式,直到不能继续分解为止
  2. 按某个字母的降幂排列是一个简单而有用的措施(简单的往往是有用的)

习题2

题目

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题解

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错题

13 14

经验

提升把代数式整体看成一个字母的意识

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