DFT与FFT运算效率的比较

一，运算量的比较

N点DFT共需要N^ 2次复数乘法和N(N-1)次复数加法，当N很大时，计算量很大。
N点FFT,$N=2^M$,进行M次分解，构成了从x(n)到X(k)的M级迭代计算，每级由N/2个蝶形运算组成，完成一个蝶形计算需一次乘法和两次复数加法。
M级运算总的复数乘次数为：
$C_M=N/2\ast M=N/2\ast lo{g}_{2}N$
复数加次数为：
$C_A=N\ast M=N\ast lo{g}_{2}N$
当N远大于1时，FFT的运算量远小于DFT。
例如当$N=2^{10}$=1024时
$\frac{N^2}{\frac{N}{2}lo{g}_{2}N}=\frac{1048576}{5120}=204.8$
这样就使运算效率提高200多倍。

二，程序运算时间比较

首先计算进行DFT所需时间，程序如下：

#include 
#include 
#include
#include

#define pi 3.1415926535

int N;
typedef struct
{
    double real,imag;
} complex;//复数结构体，定义实部，虚部

complex dft_out[9000];//用于存储dft计算结果
complex dft_mid[9000];//用于存储实部和虚部计算的值
double Amplitude[9000];//幅值
int main(int argc, char *argv[])
{
    N = atoi(argv[1]);  //命令行参数argv[1]为输入的N值，可以通过输入，控制N的值
	int n,k;
    double f;
	double time_start,time_end;
    time_start=clock();   //开始计时
    for(k=0; k

运行结果：

FFT计算时间，代码如下：

#include 
#include 
#include 
#include

#define PI 3.1415926535 //定义宏变量PI

int main()
{ 
	int i,j;
	double time_start,time_end;//定义计时的变量
    double pr[64],pi[64],fr[64],fi[64],t[64];//pr表示采样数据的实部，pi表示采样数据的虚部，fr表示离散傅里叶变换结果的实部，fi表示离散傅里叶变换结果的虚部。
	for (i=0; i<=63; i++)  //生成输入信号
    { 
		pr[i]=0.6*sin(2*PI*500*i)+0.6*sin(2*PI*50*i); pi[i]=0.0; //依次将值赋值给pr，pi赋值为0
	}
    time_start=clock();   //开始计时
    kfft(pr,pi,64,6,fr,fi,0,1);  //调用FFT函数
	time_end=clock();    //计时结束
	for (i=0; i<64; i++)
    { 
        printf("%d\t%lf\n",i,pr[i]); //输出结果
    }
	printf("进行FFT运算时间为：%.10f ms\n",time_end-time_start);  //输出所需时间
}

运行结果：

由结果可知，进行DFT运算时间远大于进行FFT所需时间，FFT运算效率明显高于DFT。