数学建模|预测方法：微分方程

微分方程预测特征

适用范围

适用于基于相关原理的因果预测模型，大多是物理或几何方面的典型问题，假设条件，用数学符号表示规律，列出方程，求解的结果就是问题的答案。

优点

优点是短、中、长期的预测都适合。如：传染病的预测模型、经济增长（或人口）的预测模型、Lanchester战争预测模型。

缺点

反应事物内部规律及其内在关系，但由于方程的建立是以局部规律的独立性假定为基础，当作为长期预测时，误差较大，且微分方程的解比较难以得到。

常见案例

传染病的预测模型、经济增长（或人口）的预测模型、Lanchester战争预测模型、药物在体内的分布与排除预测模型、烟雾的扩散与消失模型

常用方法

直接列方程

• 利用所学过的公式对某些实际问题列出微分方程。

微元分析法与任意区域上取积分的方法

• 利用已知的规律建立一些变量（自变量与未知函数）的微元之间的关系式。
• 然后再通过取极限的方法得到微分方程，或等价地通过任意区域上取积分的方法来建立微分方程。

Matlab求解

dsolve()函数

[y1,y2,?,yn]=dsolve(eqns,conds,name,value)

其中：eqns为符号微分方程（组）；conds为初值条件或边值条件；name，value为可选的成对参数。

• 1. $y^{\prime }\leftrightharpoons Dy,y^{\prime \prime }\leftrightharpoons D2y$
• 2. 自变量名可以省略，默认变量名‘t’

y1=dsolve('Dy=1+y^2','y(0)=1','x')

[x,y]=dsolve('Dx=y,D2y-Dy=0','x(0)=2,y(0)=1,Dy(0)=1','t')

ode函数

还有大量的常微分方程，虽然从理论上讲，其解是存在的，但我们却无法求出其解析解，此时，我们需要寻求方程的数值解。

function testode45
tspan=[3.9 4.0]; %求解区间
y0=[8 2]; %初值
[t,x]=ode45(@odefun,tspan,y0);
plot(t,x(:,1),'-o',t,x(:,2),'-*')
legend('y1','y2')
title('y'' ''=-t*y + e^t*y'' +3sin2t')
xlabel('t')
ylabel('y')
function y=odefun(t,x)
y=zeros(2,1); % 列向量
y(1)=x(2);
y(2)=-t*x(1)+exp(t)*x(2)+3*sin(2*t); %常微分方程公式
end
end

案例

• 数学建模【微分方程模型(介绍、分析方法、数值模拟、传染病问题的建模和分析、经济增长模型、人口增长预测和控制模型)】

• 微分方程建模——以传染病模型为例