机器学习小白手推一元线性回归[附代码]

手推一元线性回归（附代码）

引言

由于经常做运维和编程工作，线性代数知识已经多年没有用了，基本已还给老师，线性回归的思路也是机器学习的基本思路，所以打算复习一下。顺便做个一元线性笔记，忘记的时候可以拿出来回顾一下。

本文主要以手推为主，程序作为辅助，程序语言选用python。

线性回归

提出问题

根据下表内容，预测指定年龄的儿童体重。例如：预测表中没有的，19岁儿童的标准体重。

用例说明

为方便手工推算计算，我取表中标准体重的前5个数据：[10.05,12.54,14.65,16.64,18.98]，分别对应1岁到5岁年龄。

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import pandas as pd
from sklearn.linear_model import LinearRegression

#体重
weights=[10.05,12.54,14.65,16.64,18.98]
#年龄
ages=[1,2,3,4,5]
df=pd.DataFrame()
df['age']=ages
df['weight']=weights
# 散点图
df.plot(kind='scatter', x='age', y='weight', c=None, s=15) # s：点的大小  c：点的颜色 c =np.squeeze(colors)
plt.title(u'儿童年龄体重对照', fontsize=15,fontdict=dict(family='KaiTi')) #楷体
plt.show()

分布图如下,看上去像是某种线性关系：

如果要预测儿童6岁时的体重，我们可以根据中学的知识，把这线散点拟合成直线方程：

y = ax + b

然后把6代入方程就可以预测出6岁时的体重。这就是线性回归。

一元线性回归就是找一条直线，并且让图中的散点尽可能靠近这条直线

我们先随手画直线：

这又面临另一个问题：到底是红色直线更能拟合图中的散点？还是黄色直线？又或是其他直线呢？
解决这个问题就需要引入最小二乘法

假设我们的拟合直线为：$f(x)=2.25x+7.73$

根据上面的例子，把5个样本（即1岁到5岁标准体重）分别代入上述方程可以得出5个预测结果：
$\widehat{y_1}=f(x_1)=2.25\times 1+7.73=9.98$
$\widehat{y_2}=f(x_2)=2.25\times 2+7.73=12.23$
$\widehat{y_3}=f(x_3)=2.25\times 3+7.73=14.48$
$\widehat{y_4}=f(x_4)=2.25\times 4+7.73=16.73$
$\widehat{y_5}=f(x_5)=2.25\times 5+7.73=18.98$

数学中的估计值一般用上面带尖的符号表示，如：$\hat{\theta }$, 读作theta hat。

##使用程序计算

上面为手算结果，很慢，且累。这才用了5个数据样本，现实中的数据远比这个多得多，所以需要程序辅助。
接上面的程序

y_head5_predict=([2.25*x+7.73 for x in df['age']]) #拟合结果

y_head5_predict的计算结果，即方程:$f(x)=2.25x+7.73$ 的预测结果

[9.98, 12.23, 14.48, 16.73, 18.98]

与真实结果做个对比

[ 9.98, 12.23, 14.48, 16.73, 18.98]
[10.05, 12.54, 14.65, 16.64, 18.98]

最小二乘法

损失函数

可以发现上面的预测结果与真实数据存在误差，毕竟预测结果是方程算出的嘛，和真实值当然会不一样了。那么如何来恒量这个误差呢？

残差公式

$e=f(x_i)-y_i$

把预测值与真实值相减便得出了这个误差。也可以写成这样：
$\widehat{y_i}-y_i=ϵ$
但是这种算的结果有时是负数，计算起来不方便，于是就把它作平方处理。

损失函数原型

和方差（SSE）

$SSE={\sum }_{i=1}^m(y_i-\widehat{y_i}{)}^2$

均方误差（MSE）

$MSE=\frac{SSE}{N}=\frac{1}{N}{\sum }_{i=1}^m(y_i-\widehat{y_i}{)}^2$

均方根（RMSE）

$RMSE=\sqrt{MSE}=\sqrt{\frac{1}{N}{\sum }_{i=1}^m(y_i-\widehat{y_i}{)}^2}$


总之，这些公式的值最越小，说明损失越小，线性方程就能更好地拟合样本数据。

参数估计——最小二乘法

以上面例子的方程：
$f(x)=ax+b$
找出最合适的参数a和b，就是展开后：
$f(a,b)={\sum }_{i=1}^m(y_i-\widehat{y_i}{)}^2={\sum }_{i=1}^m(y_i-(a{x}_i+b){)}^2$
然后求出这个函数的最小值，这就是求线性回归的最小二乘法。
根据微积分知识，就是把函数$f(a,b)$分别对a和b求偏导，然后令偏导等于0。

对参数a的求导过程

令$u=y_i-(a{x}_i+b)$，根据链式法则(注意：x、y和b看成常数)：
$({\sum }_{i=1}^m(y_i-(a{x}_i+b){)}^2)\prime$
$={\sum }_{i=1}^{m}2(y_i-(a{x}_i+b))(y_i-(a{x}_i+b))\prime$
$={\sum }_{i=1}^{m}2(y_i-(a{x}_i+b))(y_i\prime -(a{x}_i)\prime -b\prime )$
$=2{\sum }_{i=1}^m(y_i-(a{x}_i+b))(0-x_i-0)$
$=2{\sum }_{i=1}^m(a{x}_i+b-y_i)x_i$

对参数b的求导过程

令$u=y_i-(a{x}_i+b)$，根据链式法则(注意：x、y和a看成常数)：
$({\sum }_{i=1}^m(y_i-(a{x}_i+b){)}^2)\prime$
$={\sum }_{i=1}^{m}2(y_i-(a{x}_i+b))(y_i-(a{x}_i+b))\prime$
$={\sum }_{i=1}^{m}2(y_i-(a{x}_i+b))(y_i\prime -(a{x}_i)\prime -b\prime )$
$=2{\sum }_{i=1}^m(y_i-(a{x}_i+b))(0-0-1)$
$=2{\sum }_{i=1}^m(a{x}_i+b-y_i)$

估算参数

解如下方程组：
$$\{\begin{array}{l}\frac{\partial }{\partial a}ϵ=2{\sum }_{i=1}^m(a{x}_i+b-y_i)x_i=0\\ \frac{\partial }{\partial a}ϵ=2{\sum }_{i=1}^m(a{x}_i+b-y_i)=0\end{array}$$
(长时间没用过高数，只能用笨办法)
式子1展开、转化：
${\sum }_{i=1}^m(a{x}_i+b-y_i)x_i=0$
${\sum }_{i=1}^m(a{x}_i^2+b{x}_i-y_i{x}_i)=0$
${\sum }_{i=1}^{m}a{x}_i^2+{\sum }_{i=1}^{m}b{x}_i-{\sum }_{i=1}^m{y}_i{x}_i=0$
$a{\sum }_{i=1}^m{x}_i^2+b{\sum }_{i=1}^m{x}_i-{\sum }_{i=1}^m{y}_i{x}_i=0$

式子2展开、转化：
${\sum }_{i=1}^m(a{x}_i+b-y_i)=0$
${\sum }_{i=1}^{m}a{x}_i+{\sum }_{i=1}^{m}b-{\sum }_{i=1}^m{y}_i=0$
$a{\sum }_{i=1}^m{x}_i+mb-{\sum }_{i=1}^m{y}_i=0$

初中知识，用代入消元法：
转化式子2：
$$b=\frac{{\sum }_{i=1}^m{y}_i}{m}-\frac{a{\sum }_{i=1}^m{x}_i}{m}=\bar{y}-a\bar{x}$$
代入式子1：
$a{\sum }_{i=1}^m{x}_i^2+(\bar{y}-a\bar{x}){\sum }_{i=1}^m{x}_i-{\sum }_{i=1}^m{y}_i{x}_i=0$
$a{\sum }_{i=1}^m{x}_i^2+\bar{y}{\sum }_{i=1}^m{x}_i-a\bar{x}{\sum }_{i=1}^m{x}_i-{\sum }_{i=1}^m{y}_i{x}_i=0$
$a({\sum }_{i=1}^m{x}_i^2-\bar{x}{\sum }_{i=1}^m{x}_i)+\bar{y}{\sum }_{i=1}^m{x}_i-{\sum }_{i=1}^m{y}_i{x}_i=0$
$$a=\frac{{\sum }_{i=1}^m{y}_i{x}_i-\bar{y}{\sum }_{i=1}^m{x}_i}{{\sum }_{i=1}^m{x}_i^2-\bar{x}{\sum }_{i=1}^m{x}_i}$$
到这里，把样本数据代入函数已经可以算出参数a的值了。
上代码：

# 最小二乘法估出参数
x_bar = np.mean(ages)
y_bar = np.mean(weights)
a_param = np.dot(ages, weights) - y_bar * np.sum(ages)
a_param = a_param / (np.sum(np.square(ages)) - x_bar * np.sum(ages))
b_param = y_bar - a_param * x_bar

参数a的结果，即斜率：

2.1960000000000037

参数b的结果，即截距：

7.9839999999999876

估算过程补充说明

1. 公式
   $$a=\frac{{\sum }_{i=1}^m{y}_i{x}_i-\bar{y}{\sum }_{i=1}^m{x}_i}{{\sum }_{i=1}^m{x}_i^2-\bar{x}{\sum }_{i=1}^m{x}_i}$$
   这个公式若使用手算还可以再转化：
   $$a=\frac{{\sum }_{i=1}^m{y}_i{x}_i-\frac{1}{m}{\sum }_{i=1}^m{y}_i{\sum }_{i=1}^m{x}_i}{{\sum }_{i=1}^m{x}_i^2-\bar{x}{\sum }_{i=1}^m{x}_i}$$
   $$a=\frac{{\sum }_{i=1}^m{y}_i{x}_i-\bar{x}{\sum }_{i=1}^m{y}_i}{{\sum }_{i=1}^m{x}_i^2-\bar{x}{\sum }_{i=1}^m{x}_i}$$
   $$a=\frac{{\sum }_{i=1}^m{y}_i(x_i-\bar{x})}{{\sum }_{i=1}^m{x}_i^2-\bar{x}{\sum }_{i=1}^m{x}_i}$$
2. 代码说明

np.dot(ages, weights)

这行代码为向量的点乘（内积），公式如下：

若有向量：
$a=[a_1,a_2,a_3,\dots ,a_n]$
$b=[b_1,b_2,b_3,\dots ,b_n]$

向量a和b的点积公式为：
$$a\bullet b=a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3+\dots +a_n{b}_n$$
所以${\sum }_{i=1}^m{y}_i{x}_i$可以用向量点乘方式来计算。

用程序验证手推结果

下面用sklearn的线性回归模型验证上面的推导结果：

# 验证上面手推最小二乘法的结果
# sklearn中，数据都应该是二维矩阵,这里需要转换
x_train = np.array(ages).reshape(-1, 1)
y_train = np.array(weights).reshape(-1, 1)
lr = LinearRegression()
lr.fit(x_train, y_train)
print("斜率:", lr.coef_)
print("截距:", lr.intercept_)

代码输出结果

斜率: [[2.196]]
截距: [7.984]

至此，一元线性回归模型的手工推导完成。要预测后面的结果只需代入函数：
$$f(x_i)=2.196x_i+7.984$$

多元线性回归

上面的例子只是用年龄来对身高作出预测，输入就只有年龄这一项，在现实中还可以引入多个输入项对模型进行训练。例如可以加入身高、饮食量、运动时间等。
根据一元线性回归
$f(x)=ax+b$
假设每个样本有d个输入项，多元线性回归变为
$$f(x_i)={\omega }_1{x}_{i1}+{\omega }_2{x}_{i2}+\dots +{\omega }_d{x}_{id}+b$$
有的会加上一个随机误差项$ϵ$，公式不一样但思想相同。
$$y={\beta }_0+{\beta }_1{x}_1+{\beta }_2{x}_2+\dots +{\beta }_k{x}_k+ϵ$$
求解过程同样是用最小二乘法找出最适合的$\omega$和b。而$\omega$的集合就是机器学习中高大上的参数矩阵。
$$f(x_i)={\omega }^T{x}_i+b$$
在这里x与$\omega$都变为矩阵。而求解过程也比一元线性回归要复杂得多，这里就不做手工推算了，直接使用sklearn集成好的库，用代码体验一下。

#增加一个身高输入项
ages_highs = [
    [1, 2, 3, 4, 5],    #年龄
    [76.5,88.5,96.8,104.1,111.3]   #标准身高
    ]
x_train =np.array(ages_highs).T  #这里需要做矩阵转置
y_train = np.array(weights).reshape(-1, 1)
lr = LinearRegression()
lr.fit(x_train, y_train)
print("斜率:", lr.coef_)
print("截距:", lr.intercept_)
lr.predict([[6,117.7]])

输出结果

斜率: [[1.67268574 0.06142186]]
截距: [3.69184031]
array([[20.95730786]])

预测结果：6岁，标准身高为117.7的儿童，体重为20.957。