工程矩阵理论

工程矩阵

本系列文章是对工程矩阵课程学习的复习和总结，一共分为7个部分，主要参考张明淳老师编著的工程矩阵理论。
第0章 复习与引申
第1章 线性空间与线性变换
第2章 内积空间和等距变换
第3章 矩阵的相似标准形
第4章 Hermite二次型
第5章 范数和矩阵函数
第6章 广义逆矩阵

第0章 复习与引申

1 矩阵的分块

• n阶方阵A可逆$⟺$A的行列式不为0，且A可逆时，有
  $$A^{-1}=(\det A{)}^{-1}\text{adj}A$$

• $A{e}_i$为A的第i列，$e_i^{T}A$为A的第i行

2 矩阵的秩、线性方程组及矩阵的满秩分解

• A的秩为r$⟺$A的行(列)秩为r$⟺$A的不为0的子式之最高阶数为r$⟺$存在可逆矩阵P,Q使得
  $$A=P\left[\begin{array}{cc}{I}_r& O\\ O& O\end{array}\right]Q$$

• 线性方程组$AX=b,A=(a_{ij}{)}_{s\times n}$

  • 有解$⟺$A与(A,b)的秩相等
  • 若$r(A)=r(A,b)=r$，则有唯一解$⟺$$r=n$
  • 若$r(A)=r(A,b)=r<n$，则通解中含有$n-r$个自由未知量

• 齐次线性方程组$AX=0,A=(a_{ij}{)}_{s\times n}$

  • 有非零解$⟺$$r(A)<n$
  • 若$r(A)=r<n$，则其基础解系中含$n-r$个解向量
  • 若$r(A)=r<n$，则其任意$n-r$个线性无关的解向量是其基础解系

• 一个向量组的极大无关组中含有$r$个向量，则称这个向量组的秩为$r$；

• 若向量组的秩为$r$，则该向量组中任意$r$个线性无关的向量均是其极大无关组

• 若$A=(a_{ij}{)}_{s\times n},B=(b_{ij}{)}_{n\times t}$，$AB=O$，则$r(A)+r(B)\le n-r(AB)$

• $r(A+B)\le r(A)+r(B)$

• $r(AB)\le \min [r(A),r(B)]$

• 若矩阵$A_{n\times n}$相似于对角阵$P^{-1}AP=\Lambda ,\Lambda =\text{diag}({\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n),P=(p_1,\cdots ,p_n)$，则$A{p}_i={\lambda }_i{p}_i,i=1,\dots ,n$。

• $A_{s\times n},r(A)=r$，则$A=BC,B_{s\times r},C_{r\times n}$为矩阵A的满秩分解

三个问题

1. 计算$A^k$

   若存在可逆阵$P$，使得$P^{-1}AP=\Lambda$为对角阵$\text{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n)$，其中${\lambda }_i$为矩阵$A$的第$i$个特征值，则：
   KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ A^k&=P\Lambda …
   但是$n\times n$矩阵$A$与对角阵相似$\iff$A有$n$个线性无关的特征向量，所以矩阵$A$不一定与对角阵相似，在这种情况下无法使用上述方法。

   通过同样的思路，将矩阵$A$化为尽可能简单的矩阵$J$使得$A\sim J$，使得计算$A^k$转换为计算$J^k$。（$A$的相似标准形问题，第3章讨论）

2. 计算矩阵序列的极限${\lim }_{k\to \infty }{A}^k$

   假设存在矩阵序列$\{M_k{\}}_{k=1}^{\infty }$,
   $$M_k=\left(\begin{array}{ccc}{M}_{11}^k& \cdots & M_{1N}^k\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ M_{N1}^k& \cdots & M_{NN}^k\end{array}\right)$$
   假设矩阵$M_k$的第$(i,j)$个元素构成数列$\{m_{ij}^k{\}}_{k=1}^{\infty }$，若$\forall i,j,{\lim }_{k\to \infty }{m}_{i,j}^k\to a_{ij}$,则 ${\lim }_{k\to \infty }{M}^k=A=(a_{ij}{)}_{n\times n}$。

   但是上述方法存在局限性：1 将1个矩阵序列变成$n^2$个数列来考虑；2 没有考虑矩阵各元素间的关联性。因此改进方式为以一种刻画“矩阵大小”的方法如$|M|$，此时若矩阵$M_k$与矩阵$A$相减的大小$||M_k-A||\to 0(k\to 0)$，则说明矩阵$M_k$趋于A。（矩阵的范数，第5章讨论）

   用途：考虑矩阵函数的计算

3. 求解线性方程组$AX=b$的近似解，即在无解的条件下求近似解

   近似解$X_0$，使得$A{X}_0-b$尽可能小，可以用向量的长度来刻画大小，而复向量的长度如何表示。(酉空间，第二章讨论)

   如何找近似解：当矩阵A的行列式不等于0时，由Cramer法则方程组有唯一解$X=A^{-1}b$。当矩阵$A$行列式为0或不为方阵时，则$X_0=Gb$为近似解。(广义逆矩阵，第六章讨论)

4. 此外，Hermite二次型为二次型的推广，将实数域推广到复数域。通过Hermite二次型讨论对矩阵进行分解。

基础内容回顾

矩阵的代数运算

• 矩阵的乘法：结合律$(AB)C=A(BC)$，分配律$A(B+C)=AB+AC,(A+B)C=AC+BC$，

• 矩阵的零因子：$A\ne 0,B\ne 0,AB=0$，则$A,B$分别为左零因子和右零因子。

$$N=\left(\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& 1& \cdots & 0\\ 0& 0& 0& \ddots & 0\\ 0& 0& 0& \cdots & 1\\ 0& 0& 0& \cdots & 0\end{array}\right),N^2=\left(\begin{array}{ccccc}0& 0& 1& \cdots & 0\\ 0& 0& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& 0& \ddots & 1\\ 0& 0& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& 0& \cdots & 0\end{array}\right),N^{n-1}=\left(\begin{array}{ccccc}0& 0& 0& \cdots & 1\\ 0& 0& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& 0& \ddots & 0\\ 0& 0& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& 0& \cdots & 0\end{array}\right),$$

• 矩阵的乘法不可交换，一般情况下$AB\ne BA$。

  假设矩阵$D=\text{diag}(d_1,d_2,\cdots ,d_n)，d_i互异$，则矩阵相乘AD可交换的$\iff$A为对角阵。(只有两对角阵相乘才可交换)

• 乘法消去律不成立。

• 一些代数恒等式对矩阵不再成立

  当矩阵$AB=BA$时，二项式定理成立：$(A+B{)}^m=A^m+C_m^1{A}^{m-1}B+\cdots +C_m^{m-1}A{B}^{m-1}+B^m$

• 分块矩阵：$C_{ij}=A_{i1}{B}_{1j}+A_{i2}{B}_{2j}+\cdots +A_{iq}{B}_{qj}$

• 重点：两矩阵乘积的行列式等于两矩阵行列式的乘积，即$|AB|=|A||B|$

• 初等列变换等于矩阵右乘相应的初等矩阵，初等行变换等于矩阵左乘相应的初等矩阵。

• 矩阵$AB$和矩阵$BA$除了特征值0以外，所有的特征值都相同(包括重数)

• 分块矩阵二：$AB=A({\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_n)=(A{\beta }_1,A{\beta }_2,\cdots ,A{\beta }_n)$

• **重点：**若$AB=0,则r(A)+r(B)\le n$，B的秩即B的极大无关组个数，因此小于AX=0的解空间的基础解系的个数。

• 分块矩阵三：
  $$AB=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n)\left(\begin{array}{ccc}{b}_{11}& \cdots & b_{1t}\\ ⋮& ⋮& ⋮\\ b_{n1}& \cdots & b_{nt}\end{array}\right)=(\sum _{i=1}^n{b}_{i1}{\alpha }_i,\sum _{i=1}^n{b}_{i2}{\alpha }_i,\cdots ,\sum _{i=1}^n{b}_{in}{\alpha }_i)$$
  即矩阵$AB$的第k列为矩阵$A$各列向量${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n$的线性组合

• 重点：$r(AB)\le \min r(A),r(b)$

线性方程组求解

线性方程组$AX=b,A=(a_{ij}{)}_{s\times n},b=(b_1,\cdots ,b_s{)}^T$

• 有解$⟺$$r(A)=r(A,b)$
• 若$r(A)=r(A,b)=r$，则有唯一解$⟺$$r=n$，即未知数个数
• 若$r(A)=r(A,b)=r<n$，则通解中含有$n-r$个自由未知量

对于齐次线性方程组$AX=0,A=(a_{ij}{)}_{s\times n}$

• 有非零解$⟺$$r(A)<n$
• 若$r(A)=r<n$，则其基础解系中含$n-r$个解向量
• 若$r(A)=r<n$，则其任意$n-r$个线性无关的解向量是其基础解系

简化阶梯型矩阵：非零行首元为1

Gauss消元法找通解：

1. 用初等行变换将增广矩阵化成简化阶梯型矩阵
2. 确定自由未知量（不是非零首元的遍历）
3. 用回代法找出齐次线性方程组的通解（将自由未知量带入简化阶梯型矩阵）

向量组的线性相关性

若向量组${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_s$中的部分组${\alpha }_{i1},{\alpha }_{i2},\cdots ,{\alpha }_{ir}$满足：

1. ${\alpha }_{i1},{\alpha }_{i2},\cdots ,{\alpha }_{ir}$线性无关；
2. ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_s$中每个向量均可由${\alpha }_{i1},{\alpha }_{i2},\cdots ,{\alpha }_{ir}$线性表示。

则称${\alpha }_{i1},{\alpha }_{i2},\cdots ,{\alpha }_{ir}$是${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_s$的一个极大无关组。可得结论

• 若一向量组的极大无关组中含有$r$个向量，则称这个向量组的秩为$r$。
• 若向量组的秩为$r$，则该向量组中任意$r$个线性无关的向量均是其极大无关组。

求极大无关组的步骤：

1. 用向量组的列向量构造矩阵
2. 对矩阵进行初等行变换，得到简化阶梯型矩阵
3. 非零首元所在列即为极大无关组

矩阵的秩

矩阵不满秩等价于矩阵的有零特征值；

矩阵的秩不小于非零特征值的个数。

重点：矩阵的秩的不等式：

• $r(A+B)\le r(A)+r(B)$
• $r(AB)\le \min \{r(A),r(B)\}$
• 若$A_{s\times n}{B}_{n\times t}=0$，则$r(A)+r(B)\le n$
• $r(A_{s\times n}{B}_{n\times t})\ge r(A)+r(B)-n$

矩阵的等价标准形：若矩阵$A_{s\times n}$的秩等于$r$$⟺A$与矩阵$\left(\begin{array}{cc}{I}_r& O\\ O& O\end{array}\right)$等价$⟺$存在可逆阵$P_{s\times s}$，$Q_{n\times n}$使得$A=P\left(\begin{array}{cc}{I}_r& O\\ O& O\end{array}\right)Q$

矩阵的满秩分解：若矩阵$A_{s\times n}$的秩等于$r$，则存在矩阵$B_{s\times r}$和矩阵$C_{r\times n}$使得$A=BC$。（不唯一）

矩阵满足分解的步骤：

1. 对矩阵进行初等行变换，得到简化阶梯型矩阵；
2. 则矩阵B为极大无关组构成的矩阵，矩阵C为简化阶梯阵的对应行。

$r(A)=r(A^{H}A)$，证明：->：$Ax=0$的解$A^{H}Ax=0$的解；<-:若$A^{H}Ax=0$，则$x^H{A}^{H}Ax=⟨Ax,Ax⟩\ge 0$，所以$Ax=0$。

$A^{H}Ax=A^{H}b$恒有解，证明：$r(A^{H}A,Ab)\le r(A^H)=r(A)=r(A^{H}A)$，又因为$r(A^{H}A)\le r(A^{H}A,Ab)$，所以$r(A^{H}A,Ab)=r(A^{H}A)$，因此恒有解。

定理1：n阶方阵A可相似对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。

定理2：设A为n阶对称矩阵，则A必能相似对角化。

定理3：设A为n阶对称矩阵，矩阵的秩r（A）=k，（0

定理4：设A为n阶方阵，矩阵的秩r（A）=k，（0

定理5：设A为n阶方阵，矩阵的秩r（A）=k，（0

定理6：设A为n阶方阵，矩阵的秩r（A）=k，（0

参考文献：工程矩阵理论，张明淳著