Neural Network Fundamentals (1)

Reference:

Neural Network and Learning Machines: International Edition, 3/e (Author: Haykin, ISBN:9780131293762)
人脑是专用计算机，通过神经元中的链接对经验进行存储；而计算机属于通用计算机，通过设计逻辑算法实现程序。因此结构不同，导致了人脑能够轻易实现 人脸识别，语音辨别等等 不是通过纯逻辑实现的事，因此通用计算机为了能够达到与大脑类似的效果，需要对大脑模型进行模拟，从而实现类似的功能。

大脑的基本结构

大脑由神经元组成，每个神经元由 细胞本体，树突和轴突三部分所组成。 不同神经元之间的信号由轴突输入神经元，经过细胞本体，然后通过树突然后传递到下一个细胞中。（化学信号-电信号-化学信号）

神经元网络的基本特征

• 一个神经元同时是 多个神经元的受体，也可以将信号传递给多个其他的细胞。（另外细胞也并非单向传递）
• 神经元的信号是多个细胞信息输入的叠加（信息有正有负，也就是有激活也有抑制）（因为突触是有激励因子，也有抑制因子）
• 神经元的信号输入和输出并不呈现线性关系。首先存在一定的阈值，当信号超过一定的阈值之后就会快速上升。 简单来看可以看作 sign 函数，输入之和超过一定阈值之后就会激活神经元。
• 神经元更高强度的兴奋不是有更高的输入造成的，而是由更高频率的有效刺激造成的。

通过大脑结构构建基本神经元模型

• 一个神经元有多个输入，然后有一个输出。
• 输入信号来自于不同的神经元，有不同的权重，可正可负（激励型和抑制型）。
• 神经元本身的输入可以简单看作两个结果： 激励状态 和 未被激励状态。（0和1）
  因此可以将神经元简单看作两个过程：
  过程一： $$v(x)=w^{T}x+b$$
  其中， $input:x=[x_1,x_2,\dots ,x_n{]}^T,weights:w=[w_1,w_2,\dots ,w_n],b:threshold$
  过程二： $$y=\phi (v)$$
  其中， $\phi =sign$， 存在激活函数，当 $v>=0,y=1;v<0,y=0$
  
  因此最终的函数可以表示为：
  $$y=\phi (w^{T}x+b)$$
  因为 阶跃函数不是连续函数，因此最终的函数也不是连续函数，而是单纯两个值的输出。
  当我们将激活函数换成其他的函数，比如
  sigmoid function: $\phi (v)=\frac{1}{1+e^{-av}}$
  tanh function： $\phi (v)=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$
  连续并且可导，那么该神经元结果就是连续并且可导的。

Perceptron

一个神经元在初期被称为感受器perceptron，对感受器的理解是对神经元网路理解的基础。

二分类问题

因为感受器的输出为0和1，因此可以作为感受器，实现标签的分类。 当$w^{T}x>=0$，标签结果为一类； 当$w^{T}x<0$，标签结果为另外一类。因此我们可以看到 感受器实际上是一个线性二分类器。通过创造出一条直线或者一个超平面，实现不同标签的分类。 线性可分的问题(linearly separable)才能用感受器实现，而且只要是线性可分，感受器一定能够实现。

如何得到想要的权重

• 对于低维度的点来说，我们可以直接肉眼观察，然后得到边界线和权重。
• 对于高维度的分类问题，我们只能通过learning来实现。

问题定义

我们有m个点，对于每一个点$x_i=[1,x_1,x_2,\dots ,x_{n-1}]$，然后有想要的标签 $d_i$。
我们随机定义了权重 $w=[b,w_1,w_2,\dots ,w_{n-1}]$。
我们想要实现， 对于每一个点，都能实现 $\phi (w^T{x}_i)=d_i$.

问题分析

对于m个点，假设存在一组$w$能够实现所有点的正确划分。
对于$d_i=1$的点来说，如果划分错误，使得$w^{T}x<0$，我们应该更新权重 $w_n=w_{n-1}+\Delta w$。 $\Delta w$ 应该能使得 $w^{t}x$ 整体值变大。 所以 $\Delta w=\eta x(\eta >0)$
对于 $d_i=0$的点来说，如果划分错误，我们应该更新权重，使得结果朝着 $w^{T}x$减小。所以$\Delta w=-\eta x$
我们定义 误差error: $e=d_i-w^T{x}_i$
那么我们将结果上述结果合起来: $\Delta w=\eta ex$
$\eta$作为权重，能够改变每一步的更新速率。

算法

确定学习速率$\eta$
随机生成权重 $w$

for $x_i,d_i$ in all points
计算 $e=d_i-w^{T}x$
然后更新权重： $w_n=w_{n-1}+\eta ex$

对于线性可分的问题，我们可以等到零误差（所有标签全都正确），再停止结果。 对于线性不可分的问题，我们可以计算一定的循环次数，然后停止。

感受器必然能够实现 线性可分问题的原因

Perceptron Convergence Theorem: (Rosenblatt, 1962)
此文章证明了感受器对于线性可分的问题必然会收敛。

回归问题

回归问题难以实现对于所有点的正确标记，因此我们通常将其视为优化问题，所有点的误差之和最少：
$E(w)=\frac{1}{2}{\sum }_n^{i=1}e(i{)}^2=\frac{1}{2}{\sum }_{i=1}^n[d(i)-y(i){]}^2$

分析问题

首先我们定义几个相关变量：

1. $$d=[d_1,d_2,\dots ,d_n{]}^T$$
2. $$X=[x_1,x_2,\dots ,x_n]$$
3. $$e=d-X^T\cdot w$$
4. $$E(w)=\frac{1}{2}{e}^{T}e$$
   其中 X 的维度是 (m,n)，其中 m是变量的维度， n是数据点的数量。
   然后，我们为了得到最优解，我们必须求解cost function梯度为零的点：
   $$\begin{array}{rl}▽(E(w))& =0\\ {▽}_w(E(w))& =e^T\cdot (-X^T)\\ (d^T-w^{T}X)X^T& =0\\ w^{T}X{X}^T& =d{X}^T\\ X{X}^{T}w& =X{d}^T\\ w& =(X{X}^T{)}^{-1}X{d}^T\end{array}$$
   其中$(X{X}^T{)}^{-1}$ 也就是 X的伪逆。该方程对于维度较低时较为有用，但是对于较多的数据时，对内存要求比较高。因此，对于较多的数据，可以使用以下的方式： learning。

Learning

我们将$E(w)$看作连续可微分的函数，那么我们每次更新$w$都朝着 使得 $E(w)$下降最快的方向变化，就能找到局部最优点。
因此，我们每次更新$w$的公式就是：
$$\begin{array}{rl}{w}_n& =w_{n-1}-\eta {▽}_{w}E(w)\\ w_n& =w_{n-1}+\eta e(n)x(n)\end{array}$$
其中,$e(n)=d(n)-w^{T}x(n)$

Multi-layer Perceptron

由于单个感受器只能实现已一条直线的模拟，只能完成对于线性可分的问题的解答，或者对于线性关系尽心拟合，难以完成更加复杂的问题求解，甚至连XOR都难以模拟。因此，出现了多个神经元相连结的神经元网络。

XOR问题引入

对于XOR问题，单个感受器是无法进行模拟的。

input 1	input 2	output
$x_1$	$x_2$	$y$
0	0	0
1	0	1
0	1	1
1	1	0

因为感受器只能生成一条边界线，无法生成两条。
如果我们使用两个输出,而不是单个输出：

此时我们发现XOR问题中 (0,1) 和 (1,0 )变成了一个点，实现了空间位置的转变，变成了可以线性可分的问题。 此时，将这两个输出作为输入，连接在一个感受器（神经元）上，就可以实现XOR问题的模拟。

多层神经网络

我们在考虑神经网络的层数时，不考虑输入层，只考虑隐藏层和输出层。一个全连接层和一个激活层组成了一个神经网络层。 对于每一层的全连接层，都是 $wx+b$。对于激活层，我们则可以根据我们的需要进行修改，比如RELU，sigmoid function, atanh函数等等。

LMS 方法

我们仍然将其看成一个优化问题：
需要解决的问题： 我们目前神经网络中的权重都是随机生成的，我们需要通过输出结果和我们的label( d )之间的误差e，对权重进行更新，减小生成的误差。
对于每一个数据点所产生的误差：
$$E(i)=\frac{1}{2}\sum _{j=1}^{n_3}{e}_j(i{)}^2=\frac{1}{2}\sum _{j=1}^{n_3}[d_j(i)-x_{out,j}^{(3)}(i){]}^2$$
对于同时对一批数据点进行处理：
$$E=\frac{1}{2}\sum _i^m\sum _{j=1}^{n_3}{e}_j(i{)}^2$$
我们对每个点进行分别处理，而不采取批处理，因为批处理容易陷入局部最优；对数据进行分别处理，则有助于增加noise，能够跳出局部最优，因此对每个点单独进行处理则比较好。
我们再使用梯度下降法：
$$\Delta w_{ji}^{(s)}(n)=-\eta [\frac{\partial E(n)}{\partial w_{ji}^{(s)}(n)}{]}^T$$
其中，s对应第一，二，三层；j是i的下一层。

Back Propagation

第三层权重更新

$$\begin{array}{rl}{v}_j^{(3)}& =\sum _i^{n_2}{w}_{ji}^{(3)}{x}_{out,i}^{(2)}\\ x_{out,j}^{(3)}& ={\phi }^{(3)}[v_j^{(3)}]\\ error:e_j(n)& =d_j(n)-x_{out,j}^{(3)}\end{array}$$
我们根据链式法则，可以对第三层权重进行更新：
$$\begin{array}{rl}\frac{\partial E}{\partial w_{ji}^{(3)}}& =\frac{\partial E}{\partial e_j(n)}\frac{\partial e_j(n)}{\partial x_{out,j}^{(3)}}\frac{\partial x_{out,j}^{(3)}}{\partial v_j^{(3)}}\frac{\partial v_j^{3()}}{\partial w_{ji}^{(3)}}\\ & =e_j(n)\cdot (-1)\cdot {\phi }^{(3{)}^{\prime }}[v_j^{(3)}]\cdot x_{out,i}^{(2)}\\ & =-e_j(n){\phi }^{(3{)}^{\prime }}[v_j^{(3)}]x_{out,i}^{(2)}\end{array}$$
另外，我们可以定义${\delta }_j^{(3)}(n)=e_j(n){\phi }^{(3{)}^{\prime }}[v_j^{(3)}]$，则上式可以写成
$$\frac{\partial E}{\partial w_{ji}^{(3)}}=-{\delta }_j^{(3)}(n)x_{out,i}^{(2)}(n)$$
因此我们可以得到第三层权重的更新公式：
$$w_{ji}^{(3)}(n+1)=w_{ji}^{(3)}(n)+\eta {\delta }_j^{(3)}(n)x_{out,i}^{(2)}(n)$$
其中 ${\delta }_j^{(3)}$可以看作输出误差，$x_{out,i}^{(2)}(n)$可以看作输入信号。

第二层权重更新

我们采用和上述同样的方式，采用链式法则求解。
$$\begin{array}{rl}\frac{\partial E}{\partial w_{j,k}^{(2)}}& =\frac{\partial E}{\partial x_{out,i}^{(3)}}\frac{\partial x_{out,i}^{(3)}}{\partial v_i^{(3)}}\frac{\partial v_i^{(3)}}{\partial x_{out,j}^{(2)}}\frac{\partial x_{out,j}^{(2)}}{\partial v_j^{(2)}}\frac{\partial v_j^{(2)}}{\partial w_{j,k}^{(2)}}\\ & =-e_i(n){\phi }^{(3{)}^{\prime }}[v_i^{(3)}]w_{i,j}^{(2)}{\phi }^{(2{)}^{\prime }}[v_j^{(2)}]x_{out,k}^{(1)}\\ & =-{\delta }_i^{(3)}{w}_{i,j}^{(2)}{\phi }^{(2{)}^{\prime }}[v_j^{(2)}]x_{out,k}^{(1)}\end{array}$$
但是我们可以看到上式的i是一个不定量，因为我们在对$w_{j,k}^{(2)}$进行求导的时候，我们没有包含i的信息。而且$w_{j,k}^{(2)}$对于第三层中的所有输出都会有影响，因此实际上这里的链式法则应该对i进行求和！
$$\begin{array}{r}\frac{\partial E}{\partial w_{j,k}^{(2)}}=-\sum _i^{n_3}[{\delta }_i^{(3)}{w}_{i,j}^{(3)}]{\phi }^{(2{)}^{\prime }}[v_j^{(2)}]x_{out,k}^{(1)}\end{array}$$
此时，我们定义一个变量： ${\delta }_j^{(2)}={\sum }_i^{n_3}[{\delta }_i^{(3)}{w}_{i,j}^{(3)}]{\phi }^{(2{)}^{\prime }}[v_j^{(2)}]$
那么第二层的权重可以写作：
$$\Delta w_{j,k}^{(2)}=-{\delta }_j^{(2)}{x}_{out,k}^{(1)}$$

第一层权重

同样的形式，我们可以写成：
$$\begin{array}{rl}{\delta }_k^{(1)}& =\sum _j^{n_2}[{\delta }_j^{(2)}{w}_{jk}^{(2)}]{\phi }^{(1{)}^{\prime }}[v_k^{(1)}]\\ \Delta w_{k,l}^{(1)}& =-{\delta }_k^{(1)}{x}_l\end{array}$$

Back Propagation

我们可以看到，对于每一个数据点 $[x_1(n),x_2(n),\dots ,x_m(n){]}^T$，我们可以正向传递得到最后的结果，然后根据正向得到的${\delta }_i^{(3)}$反向去求解${\delta }_j^{(2)}$，根据${\delta }_j^{(2)}$求解之前的${\delta }_k^{(1)}$,根据不同层的$\delta$对不同层的权重进行更新。

真正的权重更新

$$\begin{array}{rl}\Delta w_{ji}^{(s)}(k)& =\alpha \Delta w_{ji}^{(s)}(k-1)+{\eta }^{(s)}{\delta }_j^{(s)}(k)x_{out,i}^{(s-1)}(k)\\ & ={\alpha }^2\Delta w_{ji}^{(s)}(k-2)+{\eta }^{(s)}[\alpha {\delta }_j^{(s)}(k-1)x_{out,i}^{(s-1)}(k-1)+{\delta }_j^{(s)}(k)x_{out,i}^{(s-1)}(k)]\\ & ={\eta }^{(s)}\sum _{t=0}^k{\alpha }^{k-t}{\delta }_j^{(s)}(t)x_{out,i}^{(s-1)}(t)\end{array}$$
这样每次权重的更新 都是之前所有误差项的加权平均。 越往后的误差项，权重越高。这样的更新相当于增加了惯性项。 同时权重的更新并不只是一个点数据的影响，而是之前所有点数据的影响：这样的梯度方向相当于能够使得之前所有的点误差减小，因此能够使得结果更加的稳定。

更新停止的几种方式：

1. 总误差小于阈值
2. 总的迭代次数到了一定值
3. 误差的平均值的变化趋于0
4. 权重的变化趋于0

神经网络如何设计

目的： 神经网络作为黑箱，能够模拟各种连续的非线性函数，但是我们在期望神经网络能够较好模拟训练集的同时，也具有泛化(generalization)的能力，希望其能够在测试集（非训练集）上有较好的性能，而不是过度拟合。
因此，我们在对神经网络的结构进行设计时，需要考虑到神经网络的参数多少，尽量使用较少的神经元（较少的参数）实现我们想要的曲线拟合。同时还需要对神经网络的输入输出进行一定的规定，以实现更好的结果。

输入正则化处理

1. 对于不同物理含义的输入，我们应该将其范围限制在[-1,1]或者相近的范围内。另外，输入的范围设置为有正有负，则能够保证 权重不朝一个方向更新。
2. 我们应该保证输入量中 数值的距离相同。对于26个字母，我们应该使用$[0,0,\dots ,1{]}^T$这样的方式对其进行表示。

如何选择合适的神经元数量

尝试与选择：

1. 选择小尺寸的神经元网络，然后扩大神经元的尺寸。
2. 选择大尺寸的神经元网络，然后减少神经元的尺寸。
   另外对于单隐藏层的神经网络，对低维度的函数进行模拟的时候，我们可以根据模拟函数的段数选择神经元的数量。

对于单隐藏层的神经网络，我们选择分段线性的激活函数：

$$y(x)=w^{(2)}\phi [v]+b^{(2)}$$

对于每一个隐藏层的神经元，都可以实现在一段空间内线性增长或下降，同时不影响其他的空间。

因此，对于低维度的函数模拟时，函数有几段，我们可以初步使用几个神经元进行模拟，然后在此基础上进行修改神经元数目。
另外，我们可以不使用分段线性函数，而使用tanh 或者sigmoid函数，可以实现中间部分线性，两侧光滑的效果。
对于单层神经元就可以实现函数的分段拟合，我们为什么需要多层神经元呢：
因为使用多层神经元可以减少神经元总数的使用。多层的神经元能够更好的模拟函数，尤其是对于多个函数相加的情况。使用多层神经元，最后一层隐藏层的神经元数量等于 多种函数的数量，每一个隐藏层实现一个函数的模拟。
但是多层神经元对函数的模拟会出现波动。

另外，我们可以引入 $E_w$来限制神经网络中权重的大小。因为权重越大，对于函数的增益越大，越容易造成函数的较大波动。 我们可以引入对于较大权重的惩罚 $E_w$.
$E_w={\sum }_{i=1}^N(w_i^{(2)}{w}_i^{(1)}{)}^2$

Singular Value Decomposition (SVD)

$H_{N\times n}=U_{N\times N}{\Sigma }_{N\times n}{V}_{n\times n}^T$

其中 $U_{N\times N}$ 和 $V_{n\times n}$都是正交矩阵，因此$\Sigma$和H 的秩相同。但是${\sigma }_1,{\sigma }_2,\dots ,{\sigma }_k$中可能存在近似于0的值，也可以看作为0.因此矩阵的有效秩会小于k。
对于最后一层隐藏层含有m个神经元的神经网络，如果有n个数据点，那么每一个数据点，传入神经网络在最后一层隐藏层会生成$[x_1(i),x_2(i),\dots ,x_m(i)]$的行向量，从而对于所有的n个数据，一共生成H矩阵，维度为$n\times m$。 当m较大时，就会出现 矩阵的秩小于m的情况，此时说明了神经元出现了闲置的情况，因此应该减少神经元的数量。

对于特征值$\sigma$的大小都是相对的，因此在确定有效秩时，一般常采用以下两个公式：
LInk: Neural Network Fundamentals (2)