【学习笔记】STC校验子格编码 syndrome-trellis code

参考书：隐写学原理与技术 第11章 校验子格编码
两篇原始论文：
Minimizing Embedding Impact in Steganography using Trellis-Coded Quantization
Minimizing Additive Distortion in Steganography using Syndrome-Trellis Codes

STC toolbox
CSDN输入公式

背景：

已有的隐写编码局限性：

• 矩阵编码和GLSBM在分组上进行优化，但不能进行全局优化。
• 湿纸编码提取方程难构造。

校验子格编码STC基本解决以上问题，提供了求解加性模型PLS（限负载求最小失真）问题方法。

STC基本思想

STC的校验矩阵是由子矩阵排列成的带状阵，避免构造高维线性提取方程，基于局部性质进行优化，提前排除不可能达到最优的构造路线，最后选择全部满足局部提取方程，并且失真（嵌入次数或失真函数定义与隐写安全相关的指标）总和最低的构造路线。
STC类似于通信中的卷积码viterbi解码。
viterbi编码思想介绍：如何通俗地讲解 viterbi 算法？（知乎）
B站 【信息论基础】第7章有噪信道编码—卷积码
B站 国防科技大学-信息论与编码基础（国家级精品课）P65-66

STC算法描述

STC算法产生目标向量(最优涉密载体)y、奇偶校验矩阵H：

1. 使式子 $H{y}^T=m$ 成立
2. 寻找向量 $y$，使下列式子（失真和）最小，$D(x,y)$ 为 $x$ 和 $y$ 之间的（汉明）距离
   
3. m是要传递的秘密消息，长度为b，即$m=m_1{m}_2{m}_3...m_b$

H为校验矩阵，由高为$h$，宽为w的基础矩阵 ${\hat{H}}_{h\times w}$生成。（涉密）原始载体的长度为$n$ ,$n=w\ast b$。
基础矩阵${\hat{H}}_{h\times w}$为

将基础矩阵按照对角线方向不断重复，得到下面的校验矩阵H。最后几次复制不完整，但不影响校验和提取。

STC编码可以看作通过逐步修改x或者逐步构造y，使得 $H{y}^T=m$ 并满足失真和最小。在逐步构造提取方程时，STC 每次通过新加入 $w$ 个 $y$ 中元素传输一个消息比特m，依次构造以下等式并记录其有效解$y_j$，与修改叠加量$e_j$;

由于矩阵H的特殊形式，根据矩阵乘法原理 $H{y}^T=m$， 只有向量的 前w 比特能影响消息 m 的第一比特（第1子块），同样，m 的第二比特仅受 y 的 前2w 比特的影响，m的第三比特仅受 y 的第 w+1 位至第 3w 位的比特影响，以此类推。

STC算法格子图构成

为了描述STC算法，需要先介绍格子图的组成。

(1)子块。格子图包含m个子块，依次代表$H_{m\times n}$中对角线方向相应子矩阵 ${\hat{H}}_{h\times w}$的处理；每个子块有$q^n$行w+1列，子块中两个相邻列上的节点由连线从左向右连接。
(2)位置(列编号)。除了每个子块的第一列，格子图的所有列依次编号为{1，2，…，n}，表示当前考虑修改的载体位置；每个子块的首列仅包括子块的局部校验子初态，因此，第i个子块的首列用$p_i$标识。
(3)局部校验子(行编号)。每行依次编号为{0，1，···，$q^n$-1}，一般用q进制表示当前得到的局部校验子(partialsyndrome)，即当前子块计算能够影响到的m中子段；注意局部校验子值是低位靠右，对应局部校验子向量的上部。
(4)节点。每个子块节点表示一个路径上阶段性的状态集合，它反映了一个阶段点上的位置、局部校验子与失真等的状态；连线通过的节点为可达节点；在两个子块间，按照当前考察区域上是否满足$(Hy{)}_i=m_i$的原则选择可达节点进入下一子块的第一列，下一子块对应在下一区域隐藏下一个消息符号，当前局部校验子状态低位删除高位补0，因此子块首列节点总表示子块计算之前的初态集合。
(5)失真(节点标注)。节点上记录的数字表示连线上所表示嵌入方法当前的总失真(代价)，即截至目前连线上前面修改的加性失真总和；编码算法将适时比较各个节点上的失真状态，及时删除那些到达同一节点上失真更大或者相同的路径。
(6)连线。子块内每个可达节点的q个分支代表不同嵌入方法，这使得$e_i$不同；子块间的连线仅表示有效状态节点进入下一子块。注意，连线的方向并不表示特定的修改方式，它仅连接$y_i$当前的状态以及不修改或者修改后的状态；虚线表示删除的路径。
以上第i个子块图通过w层的发展确保了$m_i$可通过$Hy=m$提取，$y_i$决定了是否以及如何将H的第i列加到校验子中。

具体例子

本节介绍的STC算法以载体系数修改数量作为秘密信息的嵌入代价衡量指标。

在 $x=10110001$ 中嵌入 $m=0111$ ，求$y$（也就是修改后的$x$），失真为修改次数

1. 对第1子块的处理：最初状态为0，从$p_0$列的00状态出发，此时失真为0。
   00状态二分发展： 若$y_1$不修改，即保持原来的$x_1$，也就是1，对应将H的第1列加入校验子，进入$\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$（也就是11）状态，失真和$e_1$为0；若修改$y_1$，即把$x_1$改为0，对应不将H的第一列加入校验子，维持$\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]$（也就是00）状态，失真和$e_1$为1。
   不修改$y_1$的11状态继续二分发展： 若保持$y_2$不修改，即保持原来的$x_2$，也就是0，对应不将H的第2列$\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$加入校验子，进入$\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$+$\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]$=$\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$状态（这里的加号可理解为异或⊕），失真和$e_2$为0；若修改$y_2$，即把$x_2$改为1，对应将H的第2列$\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$加入校验子，进入$\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$+$\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$=$\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$状态，失真和$e_2$为1。

   修改$y_1$的00状态继续二分发展： 若保持$y_2$不修改，即保持原来的$x_2$，也就是0，对应不将H的第2列$\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$加入校验子，进入$\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]$+$\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]$=$\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]$状态，失真和$e_2$为1；若修改$y_2$，即把$x_2$改为1，对应将H的第2列$\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$加入校验子，进入$\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]$+$\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$=$\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$状态，失真和$e_2$为2。

   这样就完成了对第一子块的处理。$m_1$为0，因此只有$\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]$和$\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$状态可以进入下一子块，因为这两个状态满足低位为 0 的要求，失真和分别为1和2。
   

注意：这里的局部校验子是低位靠右，对应校验子向量的上部。如H的第二列向量（第1子块内）$\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$ 对应的校验子是10。

2. 对第2子块的处理：对上面的$\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]$和$\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$状态，删除低位（这里是0），在高位补0，分别进入$\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]$和$\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$状态，失真和分别为1和2。
   00状态二分发展： 若保持 $y_3$不修改，即保持原来的 $x_3$，也就是1，对应将H的第3列$\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$加入校验子，进入$\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]$+$\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$=$\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$状态，失真和 $e_3$为1；若修改 $y_3$，即把 $x_3$改为0，对应不将H的第3列加入校验子，维持$\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]$状态，失真和 $e_3$为2。
   01状态二分发展： 若保持 $y_3$不修改，即保持原来的 $x_3$ ，也就是1，对应将H的第3列$\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$加入校验子，进入$\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$+$\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$=$\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$状态，失真和 $e_3$为2；若修改 $y_3$，即把 $x_3$改为0，对应不将H的第3列$\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$加入校验子，维持$\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$状态，失真和 $e_3$为3。
   –
   上面的四种状态再分别二分发展：（为了后续表述方便，校验子不再写成向量形式）
   11状态二分发展（此时失真和$e_3$为1）： 若保持 $y_4$不修改，即保持原来的 $x_4$，即1，对应将H的第4列10加入校验子，进入11+10=01状态，失真和 $e_4$为1；若修改$y_4$，即把$x_4$改为0，对应不将H的第4列10加入校验子，维持11状态，失真和 $e_4$为2。
   00状态二分发展（此时失真和$e_3$为2）： 若保持 $y_4$不修改，即保持原来的x_4，即1，对应将H的第4列10加入校验子，进入00+10=10状态，失真和 $e_4$为2；若修改$y_4$，即把 $x_4$改为0，对应不将H的第4列10加入校验子，维持00状态，失真和 $e_4$为3。（失真和较大，被删除，用图中虚线表示）
   10状态二分发展（此时失真和$e_3$为2）： 若保持 $y_4$不修改，即保持原来的$x_4$，即1，对应将H的第4列10加入校验子，进入10+10=00状态，失真和 $e_4$ 为2；若修改 $y_4$，即把$x_4$改为0，对应不将H的第4列10加入校验子，维持10状态，失真和 $e_4$ 为3。（失真和较大，被删除）
   01状态二分发展（此时失真和$e_3$为3）： 若保持 $y_4$不修改，即保持原来的 $x_4$，即1，对应将H的第4列10加入校验子，进入01+10=11状态，失真和 $e_4$为3（和上面的11状态相比，被删除）；若修改 $y_4$，即把$x_4$改为0，对应不将H的第4列10加入校验子，维持01状态，失真和 $e_4$为4。（失真和较大，被删除）
   此时第二子块处理完毕。$m_2$为1，选择满足低位为1的状态，也就是01和11，失真和分别为1和2，其他路径被剪去。
3. 对第3子块进行处理：对上面的01和11状态，删除低位（这里是1），在高位补0，分别进入00和01状态，失真和分别为1和2。再进行上述类似步骤；
4. 最后一个子块不完整，使用时在高位补0 ，即第7列为$\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$，也就是01；第8列为$\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]$，也就是00；继续进行上述类似步骤；
5. 对所有子块处理完毕后，找到失真和最小的路径，进行回溯，得到修改载体，如图所示。
   

STC解码

由于$H{y}^T=m$，STC 的解码过程就是用 带状矩阵 $H$ 逐行乘以 $y$ 并逐元素输出 $m$ 的过程。发送方与接收方共享STC编码中的校验矩阵，接收方通过校验矩阵与载密图像相乘提取秘密消息。但实验表明，存在一个小的概率使 STC在嵌入时无法得到可行解，从而导致嵌入失败，不过这一般可以通过减少消息量或更换位置置乱密钥解决。