NNDL 作业11：优化算法比较

目录

1. 编程实现图6-1，并观察特征

2. 观察梯度方向

3. 编写代码实现算法，并可视化轨迹

4. 分析上图，说明原理

5. 总结SGD、Momentum、AdaGrad、Adam的优缺点

参考

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 1. 编程实现图6-1，并观察特征

import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
 
 
# https://blog.csdn.net/weixin_39228381/article/details/108511882
 
def func(x, y):
    return x * x / 20 + y * y
 
 
def paint_loss_func():
    x = np.linspace(-50, 50, 100)  # x的绘制范围是-50到50，从改区间均匀取100个数
    y = np.linspace(-50, 50, 100)  # y的绘制范围是-50到50，从改区间均匀取100个数
 
    X, Y = np.meshgrid(x, y)
    Z = func(X, Y)
 
    fig = plt.figure()  # figsize=(10, 10))
    ax = Axes3D(fig)
    plt.xlabel('x')
    plt.ylabel('y')
 
    ax.plot_surface(X, Y, Z, rstride=1, cstride=1, cmap='rainbow')
    plt.show()
 
 
paint_loss_func()

运行结果：

  这个函数是一条弧线，两端高，中间低，有全局最小值。

 2. 观察梯度方向

 

 这个梯度的特征是，y轴方向上大，x轴方向上小。换句话说, 就是y轴方向的坡度大，而x轴方向的坡度小。

3. 编写代码实现算法，并可视化轨迹

# coding: utf-8
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from collections import OrderedDict


class SGD:
    """随机梯度下降法（Stochastic Gradient Descent）"""

    def __init__(self, lr=0.01):
        self.lr = lr

    def update(self, params, grads):
        for key in params.keys():
            params[key] -= self.lr * grads[key]


class Momentum:
    """Momentum SGD"""

    def __init__(self, lr=0.01, momentum=0.9):
        self.lr = lr
        self.momentum = momentum
        self.v = None

    def update(self, params, grads):
        if self.v is None:
            self.v = {}
            for key, val in params.items():
                self.v[key] = np.zeros_like(val)

        for key in params.keys():
            self.v[key] = self.momentum * self.v[key] - self.lr * grads[key]
            params[key] += self.v[key]


class Nesterov:
    """Nesterov's Accelerated Gradient (http://arxiv.org/abs/1212.0901)"""

    def __init__(self, lr=0.01, momentum=0.9):
        self.lr = lr
        self.momentum = momentum
        self.v = None

    def update(self, params, grads):
        if self.v is None:
            self.v = {}
            for key, val in params.items():
                self.v[key] = np.zeros_like(val)

        for key in params.keys():
            self.v[key] *= self.momentum
            self.v[key] -= self.lr * grads[key]
            params[key] += self.momentum * self.momentum * self.v[key]
            params[key] -= (1 + self.momentum) * self.lr * grads[key]


class AdaGrad:
    """AdaGrad"""

    def __init__(self, lr=0.01):
        self.lr = lr
        self.h = None

    def update(self, params, grads):
        if self.h is None:
            self.h = {}
            for key, val in params.items():
                self.h[key] = np.zeros_like(val)

        for key in params.keys():
            self.h[key] += grads[key] * grads[key]
            params[key] -= self.lr * grads[key] / (np.sqrt(self.h[key]) + 1e-7)


class RMSprop:
    """RMSprop"""

    def __init__(self, lr=0.01, decay_rate=0.99):
        self.lr = lr
        self.decay_rate = decay_rate
        self.h = None

    def update(self, params, grads):
        if self.h is None:
            self.h = {}
            for key, val in params.items():
                self.h[key] = np.zeros_like(val)

        for key in params.keys():
            self.h[key] *= self.decay_rate
            self.h[key] += (1 - self.decay_rate) * grads[key] * grads[key]
            params[key] -= self.lr * grads[key] / (np.sqrt(self.h[key]) + 1e-7)


class Adam:
    """Adam (http://arxiv.org/abs/1412.6980v8)"""

    def __init__(self, lr=0.001, beta1=0.9, beta2=0.999):
        self.lr = lr
        self.beta1 = beta1
        self.beta2 = beta2
        self.iter = 0
        self.m = None
        self.v = None

    def update(self, params, grads):
        if self.m is None:
            self.m, self.v = {}, {}
            for key, val in params.items():
                self.m[key] = np.zeros_like(val)
                self.v[key] = np.zeros_like(val)

        self.iter += 1
        lr_t = self.lr * np.sqrt(1.0 - self.beta2 ** self.iter) / (1.0 - self.beta1 ** self.iter)

        for key in params.keys():
            self.m[key] += (1 - self.beta1) * (grads[key] - self.m[key])
            self.v[key] += (1 - self.beta2) * (grads[key] ** 2 - self.v[key])

            params[key] -= lr_t * self.m[key] / (np.sqrt(self.v[key]) + 1e-7)


def f(x, y):
    return x ** 2 / 20.0 + y ** 2


def df(x, y):
    return x / 10.0, 2.0 * y


init_pos = (-7.0, 2.0)
params = {}
params['x'], params['y'] = init_pos[0], init_pos[1]
grads = {}
grads['x'], grads['y'] = 0, 0

optimizers = OrderedDict()
optimizers["SGD"] = SGD(lr=0.95)
optimizers["Momentum"] = Momentum(lr=0.1)
optimizers["AdaGrad"] = AdaGrad(lr=1.5)
optimizers["Adam"] = Adam(lr=0.3)

idx = 1

for key in optimizers:
    optimizer = optimizers[key]
    x_history = []
    y_history = []
    params['x'], params['y'] = init_pos[0], init_pos[1]

    for i in range(30):
        x_history.append(params['x'])
        y_history.append(params['y'])

        grads['x'], grads['y'] = df(params['x'], params['y'])
        optimizer.update(params, grads)

    x = np.arange(-10, 10, 0.01)
    y = np.arange(-5, 5, 0.01)

    X, Y = np.meshgrid(x, y)
    Z = f(X, Y)
    # for simple contour line
    mask = Z > 7
    Z[mask] = 0

    # plot
    plt.subplot(2, 2, idx)
    idx += 1
    plt.plot(x_history, y_history, 'o-', color="red")
    plt.contour(X, Y, Z)  # 绘制等高线
    plt.ylim(-10, 10)
    plt.xlim(-10, 10)
    plt.plot(0, 0, '+')
    plt.title(key)
    plt.xlabel("x")
    plt.ylabel("y")

plt.subplots_adjust(wspace=0, hspace=0)  # 调整子图间距
plt.show()

运行结果：

 4. 分析上图，说明原理

（1）为什么SGD会走“之字形”？其它算法为什么会比较平滑？

因为图像的变化并不均匀，所以y方向变化很大时，x方向变化很小，只能迂回往复地寻找，效率很低。

（2）Momentum、AdaGrad对SGD的改进体现在哪里？速度？方向？在图上有哪些体现？

Momentum 算法做出的改进主要是用来解决第一个问题。Momentum 算法则设置了动量（momentum）的概念，可以理解为惯性，使当前梯度小幅影响优化方向，而不是完全决定优化方向。也起到了减小波动的效果。体现在图上就是图像变得平滑。

AdaGrad 算法做出的改进用来解决第二个问题，其记录了每个参数的历史梯度平方和（平方是 element-wise 的），并以此表征每个参数变化的剧烈程度，继而自适应地为变化剧烈的参数选择更小的学习率。体现在图上就是图像变得平滑。

5. 总结SGD、Momentum、AdaGrad、Adam的优缺点

SGD

优点：

由于不是在全部训练数据上的损失函数，而是在每轮迭代中，随机优化某一条训练数据上的损失函数，这样每一轮参数的更新速度大大加快。

缺点：

    1.准确度下降。由于即使在目标函数为强凸函数的情况下，SGD仍旧无法做到线性收敛。
    2.可能会收敛到局部最优，由于单个样本并不能代表全体样本的趋势.
    3.不易于并行实现。

Momentum----------为SGD进行了提速（对梯度进行调整）

优点：

对方向一致的参数能够加速学习，对梯度改变方向的参数能够减少其更新，因此就是momentum能够在相关方向上加速学习，抑制振荡，从而加速收敛。

缺点：

比较难学习一个较好的学习率。

AdaGrad--------对学习率进行了约束

Adagrad就是把每一个参数的每一次迭代的梯度取平方累加后再开方，用全局学习率除以这个数，作为学习率的动态更新。

优点：不需要对每个学习率手工地调节，学习率可以自适应的减小。

缺点：

1.从训练开始就积累梯度方差会导致有效学习率过早和过量的减小。

2.只能解决凸问题，当应用于非凸函数训练神经网络时，学习可能会到达一个局部是凸碗的区域。

3.仍依赖于人工设置一个全局学习率，学习率设置过大，对梯度的调节太大。中后期，梯度接近于0，使得训练提前结束。

Adam

简单来讲 Adam 算法就是综合了 Momentum 和 RMSProp 的一种算法，其既记录了历史梯度均值作为动量，又考虑了历史梯度平方和实现各个参数的学习率自适应调整，解决了 SGD 的上述两个问题。

优点：对内存需求较小，为不同的参数计算不同的自适应学习率

缺点：

1、可能不收敛

2、可能错过全局最优解
 

参考

NNDL 作业11：优化算法比较_HBU_David的博客-CSDN博客

优化算法SGD+Momentum、AdaGrad、RMSprop、Adam——史上超级全，解释详细_的博客-CSDN博客_sgd+momentum

机器学习中几种优化算法的比较（SGD、Momentum、RMSProp、Adam） - Glowming - 博客园 (cnblogs.com)

深度学习中的优化算法 |SGD|momentum|NAG|AdaGrad|RMSprop|AdaDelta|Adam - 知乎 (zhihu.com)