【Python算法】数值分析—拉格朗日插值法（1-未知原函数做预测）——附源码
一、背景
拉格朗日插值法可在未知原函数，只知道节点值、节点函数值时，以多项式的形式拟合出原函数。
对于已知原函数，想分析拟合结果的讨论，请移步2-已知原函数做拟合分析
拟合出的多项式：
而
、
是已知量，是实际容易测得的值，如一天内的时间和温度值，其拟合出的
就是温度关于时间变化的函数表达式
二、函数逻辑（function文件，完整代码在文末）
逻辑思路：
- 计算
的分子 - 计算的分母
- 通过 的分子分母组合出
1.计算的分子
def get_li_numerator(list_x):
""" 计算li(x)的分子部分，返回分子的表达式 """
x = sp.symbols('x')
numerator = [1 for _ in range(0, len(list_x))] # 初始化分子列表，全置为1
for i in list(range(0, len(list_x))):
for j in list(range(0, len(list_x))):
# 循环计算到自己时，跳过此次循环
if j == i:
continue
value_item = x - list_x[j]
numerator[i] = numerator[i] * value_item
return numerator 2.计算的分母
def get_li_denominator(list_x):
""" 计算li(x)的分母部分 """
denominator = [1 for _ in range(0, len(list_x))] # 初始化分母列表，全置为1
for i in list(range(0, len(list_x))):
for j in list(range(0, len(list_x))):
# 循环计算到自己时，跳过此次循环
if j == i:
continue
value_item = list_x[i] - list_x[j]
denominator[i] = denominator[i] * value_item
return denominator 3.组合出的表达式
def get_expression_li(list_x):
""" 计算li(x)的表达式 """
# 获取分子表达式
numerator = get_li_numerator(list_x)
# 获取分母的数值列表
denominator = get_li_denominator(list_x)
# 初始化li的表达式列表
expression_li = []
for i in list(range(0, len(numerator))):
expression_li.append(numerator[i] / denominator[i])
return expression_li4.组合出表达式
def get_expression_lagrange(list_fx, list_x):
""" 获取拉格朗日差值多项式的表达式 """
# 获取li(x)的表达式
expression_li = get_expression_li(list_x)
# 初始化拉格朗日插值多项式为0
expression_lagrange = 0
for i in list(range(0, len(list_x))):
expression_lagrange += expression_li[i] * list_fx[i]
return expression_lagrange5.使用拟合出的多项式，对一点进行求值以此来做预测
def get_value_expression_lagrange(expression_lagrange, # 拉格朗日差值多项式的表达式
x, # 某一点x
precision=5 # 计算保留的有效数字
):
""" 计算拉格朗日差值多项式在某一点x的值 """
return expression_lagrange.evalf(subs={'x': x}, n=precision)三、最终实现（main文件，完整代码）
import function as fun
import sympy as sp
x = sp.symbols('x')
# 设置原始数据，节点值、节点函数值
list_x = [0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1]
list_fx = [1, 2, 3, 4, 5, 6]
# 设置待预测的点
interpolation_x = 2
# 计算拉格朗日插值多项式
expression_lagrange = fun.get_expression_lagrange(list_fx, list_x)
# 计算该多项式在计算点的值
result_interpolation = fun.get_value_expression_lagrange(expression_lagrange, interpolation_x)
简单输出结果
print("拉格朗日插值多项式：", expression_lagrange)
print("插值结果：", result_interpolation)部分结果展示
function文件完整代码
import sympy as sp
def get_li_numerator(list_x):
""" 计算li(x)的分子部分，返回分子的表达式 """
x = sp.symbols('x')
numerator = [1 for _ in range(0, len(list_x))] # 初始化分子列表，全置为1
for i in list(range(0, len(list_x))):
for j in list(range(0, len(list_x))):
# 循环计算到自己时，跳过此次循环
if j == i:
continue
value_item = x - list_x[j]
numerator[i] = numerator[i] * value_item
return numerator
def get_li_denominator(list_x):
""" 计算li(x)的分母部分 """
denominator = [1 for _ in range(0, len(list_x))] # 初始化分母列表，全置为1
for i in list(range(0, len(list_x))):
for j in list(range(0, len(list_x))):
# 循环计算到自己时，跳过此次循环
if j == i:
continue
value_item = list_x[i] - list_x[j]
denominator[i] = denominator[i] * value_item
return denominator
def get_expression_li(list_x):
""" 计算li(x)的表达式 """
# 获取分子表达式
numerator = get_li_numerator(list_x)
# 获取分母的数值列表
denominator = get_li_denominator(list_x)
# 初始化li的表达式列表
expression_li = []
for i in list(range(0, len(numerator))):
expression_li.append(numerator[i] / denominator[i])
return expression_li
def get_expression_lagrange(list_fx, list_x):
""" 获取拉格朗日差值多项式的表达式 """
# 获取li(x)的表达式
expression_li = get_expression_li(list_x)
# 初始化拉格朗日插值多项式为0
expression_lagrange = 0
for i in list(range(0, len(list_x))):
expression_lagrange += expression_li[i] * list_fx[i]
return expression_lagrange
def get_value_expression_lagrange(expression_lagrange, # 拉格朗日差值多项式的表达式
x, # 某一点x
precision=5 # 计算保留的有效数字
):
""" 计算拉格朗日差值多项式在某一点x的值 """
return expression_lagrange.evalf(subs={'x': x}, n=precision)
demo源码链接如下
github地址：https://github.com/method_lagrange_interpolation
gitee地址：https://gitee.com/darlingxyz/method_lagrange_interpolation