常用工业控制（一）：PID和模型控制原理详解

控制目标

使被控对象稳定，并尽可能精确且快速地跟踪给定的参考输入信号。

控制方式

1. 开环控制：预先确定后执行。
2. 闭环控制：实时根据输出调整输入。

示意图：

（图片摘自网络）

• 总结：实际应用上是很少用到开环控制，因为被控对象受到扰动是不可避免的，而且本身控制器到被控制对象信号的传递本身就不是精确无误的。比如小车直线匀速行走一段距离，在完美的状态下，是无需调整方向盘和马力。但是由于地面因素，或者从控制器到被控对象中，大到结构的不对称，传动系统的轻微偏差，小到轮胎充气气压不同，车体的重心不同等等，都会导致执行结果产生偏差。正是因为实际应用场景的复杂性，往往可能连输入和状态的模型都很难进行建立，所以使用闭环控制必不可少。

基于简单模型推导pd和pid表达式

• 讨论线性非时变系统
  1.一阶

  • 运动学模型为
    $$\begin{gathered} \dot{x}=u \\ x,u\in R;x为状态，u为输入 \end{gathered}$$
  • 想要状态x去跟随期望轨迹 $x^{des}(t)$，如何控制输入u:
    • 可以定义误差$e(t)=x^{des}(t)-x(t)$，且找到能使e(t)随时间t增大收敛到0的关系式
    • 如果$e(t)$以指数收敛到0，只需要符合这个式子:$\dot{e}+K_{p}e=0,K_p>0$
    • 将运动学的模型代入该式子，可以得到
      $u(t)={\dot{x}}^{des}(t)+k_{p}e(t)$
      第一项为前馈项，反应的是通过运动学模型计算得到的系统输入；第二项为比例项，是通过误差大小进行比例反馈。

  2.二阶

  • 运动学模型为
    $$\begin{gathered} \ddot{x}=u \\ x,u\in R;x为状态，u为输入 \end{gathered}$$
  • 想要状态x去跟随期望轨迹$x^{des}(t)$，如何控制输入u:
    • 可以定义误差$e(t)=x^{des}(t)-x(t)$，且找到能使e(t)随时间t增大收敛到0的关系式
    • 如果$e(t)$以指数收敛到0，只需要符合这个式子:$\ddot{e}+K_d\dot{e}+K_{p}e=0;K_d,K_p>0$
    • 将运动学的模型代入该式子，可以得到
      $u(t)={\ddot{x}}^{des}(t)+k_{p}e(t)+K_d\dot{e}(t)$
      第一项为前馈项，反应的是通过运动学模型计算得到的系统输入；第二项为比例项，是通过误差大小进行比例反馈； 第三项为微分项，通过误差的微分做反馈调整
  • 拓展
  1. PD控制:在控制模型中增加比例项和微分项，在很多实际应用系统中经常使用。比例控制的作用类似于弹簧相应，微分控制的作用类似于粘性阻尼响应。比例项理解很直观，对误差的大小进行补偿。加入微分项，可以减小输入的超调量和校正时间，但过大的微分增益也会导致系统过阻尼，使收敛速度变慢。
  2. PID控制:增加了第四项：积分项。
     • 表达式为
       $u(t)={\dot{x}}^{des}(t)+k_{p}e(t)+K_d\dot{e}(t)+K_I{\int }_0^{t}eI(u)du$
     • 积分控制使得稳态误差趋近于零。
     • 【个人理解】 稳态误差，就是调节稳定后实际值和目标值之间的差值。这个差值肯定是存在的，只是需要控制在我们需要的范围内。这个差值主要跟我们最小的调节精度有关，也就是跟比例项最为相关。（当然也与系统间的特性有关，但我们往往是得不到准确的系统模型，但我们可以通过修改系数也逼近实际的系统模型。）如果比例项的最小精度是0.1。而我们的稳态误差需要的是0.05。虽然加入了微分项，有一定的阻尼效果，但对静态误差减少并不显著。这时候应该考虑调节比例项的最小精度，简单处理可以考虑分段pid。如果比例项已经处于比较合适的情况，但稳态误差还是不满足要求。就可以考虑加入积分项。

  3.三阶

  • 按照前面描述可以继续进行拓展。

• 总结:推导的表达式中，有前馈项；还有与误差相关的比例项、微分项、积分项。前馈项，是基于模型得到的。在建立了准确的模型且执行机构没有偏差的情况下，根据前馈项执行就是达到目标值。但在实际情况下，这是大部分系统难一达到的。往往需要加入误差反馈项。在有些时候，得不到系统模型，也就得不到前馈项，只有误差反馈项同样可以使误差以时间的指数相关的速度收敛到0。可以理解，在没有前馈项时，比例项其实充当了前馈项的作用的，也就是我们将模型建设与误差为线性关系。

拓展:以一个简单二阶系统模型为例。

在上述的二阶系统模型中
$$\begin{gathered} \ddot{x}=u \\ x,u\in R;x为状态，u为输入 \end{gathered}$$
这样计算得到$u(t)={\ddot{x}}^{des}(t)+k_{p}e(t)+K_d\dot{e}(t)$中的前馈项，刚好能够反应系统模型：输入和状态的关系。
看下面的二阶系统模型（增加了一阶项和二阶项）:
$$a\ddot{x}(t)+b\dot{x}(t)+cx(t)=u(t)$$
同样的，还是定义误差$e(t)=x^{des}(t)-x(t)$，且找到能使e(t)随时间t增大收敛到0的关系式，找到符合该关系的式子:$\ddot{e}+K_d\dot{e}+K_{p}e=0;K_d,K_p>0$，代入将得到
$$u(t)=a({\dot{x}}^{des}(t)+k_{p}e(t)+K_d\dot{e}(t))+b\dot{x}(t)+cx(t)$$
同样可以分为模型控制和误差控制两部分。

总结：

模型+误差反馈控制在实际中非常常用，模型也可以理解为开环，误差反馈为闭环。实际应用也非常灵活，但基本思想是一致的。当系统模型可以准确描述，且执行没有偏差时，只需要系统模型（开环）控制就可以到达控制效果。但因为系统本身的复杂性和各种扰动的存在，需要加入误差（闭环）控制。基于模型（同时需要比较准确）的部分可以在任何状态下提供一个良好的初值，那么误差反馈项就只需要解决微小的系统偏差和执行偏差，那么误差反馈的任务就可以简化。但在实际应用中，一些系统没法比较准确的描述系统模型，只通过误差反馈控制也是能到控制效果。

最后：

• 注意：证明时假设系统为线性时不变系统。但实际控制系统中很少能完美满足线性时不变系统，但上述的经典控制方式仍然能适应轻微非线性的系统；或者通过改良（如局部线性化），在非线性时变系统下仍然有良好的表现，这在以后进行讨论。