latex 分数_【重点】分数阶微积分和分数阶微分方程数值实验（8）——G-L分数阶微积分(2)——短时记忆效应...

参考文献

薛定宇《分数阶微积分学与分数阶控制》

数值实现

Matlab 2019a 主要基于薛定宇开发的FOTF工具箱

蜜酒厅通讯社 固体地球物理学部

前情回顾

形式主义的居士：【重点】分数阶微积分和分数阶微分方程数值实验（8）——G-L分数阶微积分（1）​zhuanlan.zhihu.com

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短时记忆效应

定义：一般情况下，如果计算步长

选择过小，或者

的值过大，则

参与求和的点数会特别庞大，可能导致计算量显著增加，最终得不出计算结果，这样应该考虑减少计算点数。在实际应用中计算分数阶导数不一定非得使用以前

所有的信息，用最近时间区间

内的信息就能减少计算量：

这种方法又称为短时记忆效应，采用这样的方法，则Grünwald-Letnikov分数阶导数可以近似为：

式中，

其中，

称为记忆时长。这样，如何选择这个记忆时长

就成为最关键的问题。假设感兴趣的时间区间

内函数

的值满足

，则可见近似误差为：

如果期望误差小于预先指定的正数

，即

，则记忆时长应该选为：

不过，该公式在选择记忆时长上可能过于苛刻。比如，若选择误差容限

，记忆时长将是个非常大的数值，除非降低误差要求。在精度要求较高时，上式可能过于保守，有时短时记忆效应未必有实际意义。

Herbert C.White 燕京胜迹 1927年

Matlab数值实现

Grunwald_Letnikov_differential_memory.m

% 薛定宇《分数阶微积分学与分数阶控制》 p41 

算例

（1）在分数阶导数计算公式中，二项式系数

表明导数值对以往函数值的依赖程度，试绘制

与

时的

曲线。

解：利用

中的递推公式可以直接计算出不同

值下的

系数，从而绘制出曲线。

% 薛定宇《分数阶微积分学与分数阶控制》 p41 例3.5

图像

分数阶导数对近处几个点的依赖程度很高，对远处的点依赖程度虽然减小，但也有些依赖。

Herbert C.White 燕京胜迹 1927年

（2）再重新考虑函数

。试利用短时记忆效应求取函数的

阶微分，并探讨短时记忆效应的近似效果。

解：选择计算步长

，并选择容许误差为

。因为函数的最大值为

，由

计算出来的最小记忆时长为

。

% 薛定宇《分数阶微积分学与分数阶控制》 p43 例3.6

图像

选择记忆时长

将减少超过三分之二的计算时间，近似结果也尚可。

检验普通算法和短时记忆算法所需时间：

% 薛定宇《分数阶微积分学与分数阶控制》 p43 例3.6

窗口

普通算法
时间已过 4.479326 秒。
短时记忆算法
时间已过 0.217675 秒。

Herbert C.White 燕京胜迹 1927年

（3）试尝试用短时记忆方法求出阶跃函数的分数阶积分。

解：阶跃信号的0.75阶积分可以由Cauchy积分公式直接得出

。选择计算步长

，则总共需要

，产生

个数据点。尝试一个较大的记忆时长，如

，则可以采用下面语句直接计算分数阶积分。

% 薛定宇《分数阶微积分学与分数阶控制》 p43 例3.7

图像

即使采用很大的记忆时长，还会产生很大误差，所以在这个例子中短时记忆算法不适用，必须使用全部信息。

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Herbert C.White 燕京胜迹 1927年