图像分割——大津法(Otsu)

大津法又叫最大类间方差法，是于1979年由日本学者大津展之提出的一种对图像进行二值化的高效算法，是在判别与最小二乘法原理的基础上推导出来的。

算法原理

把直方图在某一阈值处分割为两组，当前分成的两组间方差最大。
假设我们有一张图像，其灰度值为1~m级，灰度值 i 的像素数为 n_i 。
我们可以得到
像素总数 $N={\sum }_{i=0}^n{x}_i$
各灰度级的概率 $pi=\frac{n_i}{N}$。
然后用阈值T将其分为两组$C_0=\mid 1\backsim T\mid$和$C_1=\mid T+1\backsim m\mid$。
我们就可以得到：
C₀的概率 $w_0=w(T)={\sum }_{i=1}^T{p}_i$
C₁的概率 $w_1=1-w_0={\sum }_{i=T+1}^m{p}_i$
C₀的平均值 ${\mu }_0=\frac{\mu (T)}{w(T)}={\sum }_{i=1}^T\frac{i\ast p_i}{w_0}$
C₁的平均值 ${\mu }_1=\frac{\mu -\mu (T)}{1-w(T)}={\sum }_{i=T+1}^m\frac{i\ast p_i}{w_1}$

其中$\mu$是整个图像的灰度平均值，$\mu =w_0{\mu }_0+w_1{\mu }_1$
两组间的方差为：
$${\delta }^2=w_0({\mu }_0-\mu {)}^2+w_1({\mu }_1-\mu {)}^2=w_0{w}_1({\mu }_1-{\mu }_0{)}^2$$
$$=\frac{[\mu w_{(}T)-\mu (T){]}^2}{w(T)[1-w(T)]}$$

实现代码：

import cv2
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

gray=cv2.imread('lenaGray.bmp',cv2.IMREAD_GRAYSCALE)
cv2.imshow('gray',gray)

N=gray.size
pro=np.array([0]*256)
for i in range(gray.shape[0]):
    for j in range(gray.shape[1]):
        pro[gray[i,j]]+=1
pro=pro/N

T=0
delta=0
thresh=0
while T<=256:
    w0=pro[0:T].sum()
    w1=pro[T+1:256].sum()
    u0=(pro[0:T]*range(1,T+1)).sum()/w0
    u1=(pro[T:256]*range(T+1,257)).sum()/w1
    u=w0*u0+w1*u1
    v=w0*w1*np.square(u1-u0)
    if v>delta:
        delta=v
        thresh=T
    T+=1

otsu=np.zeros(gray.shape,np.uint8)
for i in range(gray.shape[0]):
    for j in range(gray.shape[1]):
        if gray[i,j]>thresh:
            otsu[i,j]=255

cv2.imshow('Otsu',otsu)
cv2.waitKey(0)
cv2.destroyAllWindows()

效果展示