视频DCT变换与量化

一、变换域编码——整数DCT
\quad将空间域描述的图像，经过某种变换后得到变换域中的数据，达到改变数据分布形式、减少有效数据量的目的。
\quad变换包含DCT(离散余弦变换)、DST(离散正弦变换)等，这里我们主要讨论DCT。在图像视频压缩中采用的变换都是正交变换，因为正交变换不改变信源熵值，完全可以通过反变换重建原图，且压缩程度高。变换的好处在于使得数据分布发生改变，变换系数向低频方向集中，利于编码。
\quad采用DCT变换的图像、视频压缩基本框架如下：

\quadH.264采用整数DCT变化，主要目的有两个：1. 采用整数，提高运算速度 2. 将归一化和量化整合在一起，减少乘运算。变换方程为F c = C ⋅ f ⋅ C T F_c=C \cdot f \cdot C^TF 
c
​    
 =C⋅f⋅C 
T
 ,，变换矩阵C，第 u 行，第 x 列元素表示为：

在N=4时，即4x4图像块的DCT变换为：

其中，

二、数据扫描
“之”字扫描(Zig-Zag) — 逐行扫描顺序

“之”字扫描(Zig-Zag) — 场扫描顺序

三、量化
\quad量化是指将信号的连续取值(或大量可能的离散取值)映射为有限多个离散值的过程，实现信号取值多对一的映射。在视频/图像编码中，残差信号经过DCT后，变换系数往往具有较大的动态范围，因此对变换系数进行量化可以有效地减小信号取值空间，获得更好的压缩效果。
\quad量化分为两类，如下：

标量量化：无需分析数据统计特性，复杂度低，但平均量化误差大。被主流的图像、视频编码标准所采用；
矢量量化：基于数据统计属性的量化器，平均量化误差低，但不容易实现。
\quad对于位于某个区间的值x，都用一个定值代替。即y = Q ( x ) = y k , x ∈ [ x k , x k + 1 ) y=Q(x)=y_k, x \in [x_k, x_{k+1})y=Q(x)=y 
k
​    
 ,x∈[x 
k
​    
 ,x 
k+1
​    
 )。假定量化的级别，即重建值的个数为L，则表示这些量化索引所用的最多平均比特数为l o g 2 L log_2 Llog 
2
​    
 L。
均匀量化
均匀量化的特点是在整个量化范围内，各个量化间隔都相等；
若信号X的取值范围为[a, b]，量化级别为L，则每个量化间隔的大小为Δ = b − a L \Delta = \frac{b-a}{L}Δ= 
L
b−a
​    
 
均匀量化的量化误差q的取值范围为− Δ / 2 ≤ q ≤ Δ / 2 -\Delta /2 \le q \le \Delta /2−Δ/2≤q≤Δ/2，q在[ − Δ / 2 , Δ / 2 ] [-\Delta /2, \Delta /2][−Δ/2,Δ/2]服从均匀分布，故而量化误差的方差为σ q = 1 Δ ∫ − Δ / 2 Δ / 2 q 2 d q = Δ 2 12 σ_q = \frac{1}{\Delta} \int_{-\Delta /2}^{\Delta /2} q^2 dq=\frac{\Delta ^2}{12}σ 
q
​    
 = 
Δ
1
​    
 ∫ 
−Δ/2
Δ/2
​    
 q 
2
 dq= 
12
Δ 
2
 
​    
 。
最优量化
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