NNDL 作业11：优化算法比较

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 1. 编程实现图6-1，并观察特征

2. 观察梯度方向

 3. 编写代码实现算法，并可视化轨迹 

 4. 分析上图，说明原理（选做）

5. 总结SGD、Momentum、AdaGrad、Adam的优缺点（选做）

6. Adam这么好，SGD是不是就用不到了？（选做）

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 1. 编程实现图6-1，并观察特征

import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
 
 
def func(x, y):
    return x * x / 20 + y * y
 
 
def paint_loss_func():
    x = np.linspace(-50, 50, 100)  # x的绘制范围是-50到50，从改区间均匀取100个数
    y = np.linspace(-50, 50, 100)  # y的绘制范围是-50到50，从改区间均匀取100个数
 
    X, Y = np.meshgrid(x, y)
    Z = func(X, Y)
 
    fig = plt.figure()  # figsize=(10, 10))
    ax = Axes3D(fig)
    plt.xlabel('x')
    plt.ylabel('y')
 
    ax.plot_surface(X, Y, Z, rstride=1, cstride=1, cmap='rainbow')
    plt.show()
 
 
paint_loss_func()

 

 

 特征：是向x轴方向延伸的碗状函数，等高线呈向x轴方向延伸的椭圆形，有全局最小值

2. 观察梯度方向

 3. 编写代码实现算法，并可视化轨迹 

# coding: utf-8
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from collections import OrderedDict
 
 
class SGD:
    """随机梯度下降法（Stochastic Gradient Descent）"""
 
    def __init__(self, lr=0.01):
        self.lr = lr
 
    def update(self, params, grads):
        for key in params.keys():
            params[key] -= self.lr * grads[key]
 
 
class Momentum:
    """Momentum SGD"""
 
    def __init__(self, lr=0.01, momentum=0.9):
        self.lr = lr
        self.momentum = momentum
        self.v = None
 
    def update(self, params, grads):
        if self.v is None:
            self.v = {}
            for key, val in params.items():
                self.v[key] = np.zeros_like(val)
 
        for key in params.keys():
            self.v[key] = self.momentum * self.v[key] - self.lr * grads[key]
            params[key] += self.v[key]
 
 
class Nesterov:
    """Nesterov's Accelerated Gradient (http://arxiv.org/abs/1212.0901)"""
 
    def __init__(self, lr=0.01, momentum=0.9):
        self.lr = lr
        self.momentum = momentum
        self.v = None
 
    def update(self, params, grads):
        if self.v is None:
            self.v = {}
            for key, val in params.items():
                self.v[key] = np.zeros_like(val)
 
        for key in params.keys():
            self.v[key] *= self.momentum
            self.v[key] -= self.lr * grads[key]
            params[key] += self.momentum * self.momentum * self.v[key]
            params[key] -= (1 + self.momentum) * self.lr * grads[key]
 
 
class AdaGrad:
    """AdaGrad"""
 
    def __init__(self, lr=0.01):
        self.lr = lr
        self.h = None
 
    def update(self, params, grads):
        if self.h is None:
            self.h = {}
            for key, val in params.items():
                self.h[key] = np.zeros_like(val)
 
        for key in params.keys():
            self.h[key] += grads[key] * grads[key]
            params[key] -= self.lr * grads[key] / (np.sqrt(self.h[key]) + 1e-7)
 
 
class RMSprop:
    """RMSprop"""
 
    def __init__(self, lr=0.01, decay_rate=0.99):
        self.lr = lr
        self.decay_rate = decay_rate
        self.h = None
 
    def update(self, params, grads):
        if self.h is None:
            self.h = {}
            for key, val in params.items():
                self.h[key] = np.zeros_like(val)
 
        for key in params.keys():
            self.h[key] *= self.decay_rate
            self.h[key] += (1 - self.decay_rate) * grads[key] * grads[key]
            params[key] -= self.lr * grads[key] / (np.sqrt(self.h[key]) + 1e-7)
 
 
class Adam:
    """Adam (http://arxiv.org/abs/1412.6980v8)"""
 
    def __init__(self, lr=0.001, beta1=0.9, beta2=0.999):
        self.lr = lr
        self.beta1 = beta1
        self.beta2 = beta2
        self.iter = 0
        self.m = None
        self.v = None
 
    def update(self, params, grads):
        if self.m is None:
            self.m, self.v = {}, {}
            for key, val in params.items():
                self.m[key] = np.zeros_like(val)
                self.v[key] = np.zeros_like(val)
 
        self.iter += 1
        lr_t = self.lr * np.sqrt(1.0 - self.beta2 ** self.iter) / (1.0 - self.beta1 ** self.iter)
 
        for key in params.keys():
            self.m[key] += (1 - self.beta1) * (grads[key] - self.m[key])
            self.v[key] += (1 - self.beta2) * (grads[key] ** 2 - self.v[key])
 
            params[key] -= lr_t * self.m[key] / (np.sqrt(self.v[key]) + 1e-7)
 
 
def f(x, y):
    return x ** 2 / 20.0 + y ** 2
 
 
def df(x, y):
    return x / 10.0, 2.0 * y
 
 
init_pos = (-7.0, 2.0)
params = {}
params['x'], params['y'] = init_pos[0], init_pos[1]
grads = {}
grads['x'], grads['y'] = 0, 0
 
optimizers = OrderedDict()
optimizers["SGD"] = SGD(lr=0.95)
optimizers["Momentum"] = Momentum(lr=0.1)
optimizers["AdaGrad"] = AdaGrad(lr=1.5)
optimizers["Adam"] = Adam(lr=0.3)
 
idx = 1
 
for key in optimizers:
    optimizer = optimizers[key]
    x_history = []
    y_history = []
    params['x'], params['y'] = init_pos[0], init_pos[1]
 
    for i in range(30):
        x_history.append(params['x'])
        y_history.append(params['y'])
 
        grads['x'], grads['y'] = df(params['x'], params['y'])
        optimizer.update(params, grads)
 
    x = np.arange(-10, 10, 0.01)
    y = np.arange(-5, 5, 0.01)
 
    X, Y = np.meshgrid(x, y)
    Z = f(X, Y)
    # for simple contour line
    mask = Z > 7
    Z[mask] = 0
 
    # plot
    plt.subplot(2, 2, idx)
    idx += 1
    plt.plot(x_history, y_history, 'o-', color="red")
    plt.contour(X, Y, Z)  # 绘制等高线
    plt.ylim(-10, 10)
    plt.xlim(-10, 10)
    plt.plot(0, 0, '+')
    plt.title(key)
    plt.xlabel("x")
    plt.ylabel("y")
 
plt.subplots_adjust(wspace=0, hspace=0)  # 调整子图间距
plt.show()

 4. 分析上图，说明原理（选做）

 为什么SGD会走“之字形”？其它算法为什么会比较平滑？

SGD有缺陷，呈现之字形，是因为图像的变化并不均匀，所以y方向变化很大时，x方向变化很小，只能迂回往复地寻找，效率很低。

其他算法在下降开始阶段，历史速度变量和当前梯度方向相反，则会使得下降的过程更为平滑，避免过度震荡。因此主要作用在于：有一定几率跳出局部最优解，历史速度变量和当前梯度方向相反时，使得下降的过程更为平滑。

Momentum、AdaGrad对SGD的改进体现在哪里？速度？方向？在图上有哪些体现

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5. 总结SGD、Momentum、AdaGrad、Adam的优缺点（选做）

SGD

SGD指stochastic gradient descent，即随机梯度下降。是梯度下降的batch版本。

对于训练数据集，我们首先将其分成n个batch，每个batch包含m个样本。我们每次更新都利用一个batch的数据，而非整个训练集。

这么做的好处在于：

• 当训练数据太多时，利用整个数据集更新往往时间上不显示。batch的方法可以减少机器的压力，并且可以更快地收敛。
• 当训练集有很多冗余时（类似的样本出现多次），batch方法收敛更快。以一个极端情况为例，若训练集前一半和后一半梯度相同。那么如果前一半作为一个batch，后一半作为另一个batch，那么在一次遍历训练集时，batch的方法向最优解前进两个step，而整体的方法只前进一个step。

Momentum

SGD方法的一个缺点是，其更新方向完全依赖于当前的batch，因而其更新十分不稳定。解决这一问题的一个简单的做法便是引入momentum。

momentum即动量，它模拟的是物体运动时的惯性，即更新的时候在一定程度上保留之前更新的方向，同时利用当前batch的梯度微调最终的更新方向。这样一来，可以在一定程度上增加稳定性，从而学习地更快，并且还有一定摆脱局部最优的能力：

其中， 即momentum，表示要在多大程度上保留原来的更新方向，这个值在0-1之间，在训练开始时，由于梯度可能会很大，所以初始值一般选为0.5；当梯度不那么大时，改为0.9。 是学习率，即当前batch的梯度多大程度上影响最终更新方向，跟普通的SGD含义相同。 与 之和不一定为1。

AdaGrad 

AdaGrad其实是对学习率进行了约束，AdaGrad独立地适应所有模型参数的学习率，缩放每个参数反比于其它所有梯度历史平方值总和的平方根。损失较大偏导的参数相应地拥有一个快速下降的学习率，而较小偏导的参数在学习率上有相对较小的下降。净效果是在参数空间中更为平缓的倾斜方向会取得更大的进步。参数更新公式为：

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Adam

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优点：

1. 实现简单，计算高效，对内存需求少

2. 参数的更新不受梯度的伸缩变换影响

3. 超参数具有很好的解释性，且通常无需调整或仅需很少的微调

4. 更新的步长能够被限制在大致的范围内（初始学习率）

5. 能自然地实现步长退火过程（自动调整学习率）

6. 很适合应用于大规模的数据及参数的场景

7. 适用于不稳定目标函数

8. 适用于梯度稀疏或梯度存在很大噪声的问题

6. Adam这么好，SGD是不是就用不到了？（选做）

Adam：可能不收敛

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Adam：可能错过全局最优解

深度神经网络往往包含大量的参数，在这样一个维度极高的空间内，非凸的目标函数往往起起伏伏，拥有无数个高地和洼地。有的是高峰，通过引入动量可能很容易越过；但有些是高原，可能探索很多次都出不来，于是停止了训练。

所以，谈到现在，到底Adam好还是SGD好？这可能是很难一句话说清楚的事情。去看学术会议中的各种paper，用SGD的很多，Adam的也不少，还有很多偏爱AdaGrad或者AdaDelta。可能研究员把每个算法都试了一遍，哪个出来的效果好就用哪个了。

而从这几篇怒怼Adam的paper来看，多数都构造了一些比较极端的例子来演示了Adam失效的可能性。这些例子一般过于极端，实际情况中可能未必会这样，但这提醒了我们，理解数据对于设计算法的必要性。优化算法的演变历史，都是基于对数据的某种假设而进行的优化，那么某种算法是否有效，就要看你的数据是否符合该算法的胃口了。

另一方面，Adam之流虽然说已经简化了调参，但是并没有一劳永逸地解决问题，默认参数虽然好，但也不是放之四海而皆准。因此，在充分理解数据的基础上，依然需要根据数据特性、算法特性进行充分的调参实验，找到自己炼丹的最优解。而这个时候，不论是Adam，还是SGD，于你都不重要了。

​Adam那么棒，为什么还对SGD念念不忘 (2)—— Adam的两宗罪 - 知乎 (zhihu.com)

深度模型优化算法SGD、Momentum、NAG、AdaGrad、RMSProp及Adam等 - 知乎 (zhihu.com)

https://blog.csdn.net/befastbefast/article/details/93629365