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Wasserstein GAN中 Earth-Mover (EM) distance 的理解

1. Wasserstein GAN 论文的第2节Different Distances中给出Earth-Mover (EM) distance的定义形式：

Wasserstein GAN中 Earth-Mover (EM) distance 的理解_第1张图片

将公式（1）的期望形式转换成积分形式：

W(\mathbb{P}_{r},\mathbb{P}_{g})=\inf_{\gamma \in \prod (\mathbb{P}_{r}, \mathbb{P}_{g})}\int \int \gamma (x,y) \left \| x-y \right \| d_{x} d_{y}

》\prod (\mathbb{P}_{r}, \mathbb{P}_{g})是\mathbb{P}_{r}, \mathbb{P}_{g}组合起来的所有可能的联合分布的集合【1】；

》根据文献【2】，\left \| x-y \right \| 是L1范数，其含义是成本函数，货物从x运输到y的成本；

》根据论文的描述，\gamma(x,y)表示为了把分布\mathbb{P}_{r}变换成分布\mathbb{P}_{g}，需要从x运输多少 “mass” 到 y；

结合文献【3】和文献【2】的描述，可以更好地理解\gamma(x,y)，\gamma是一种运输方案，设\mathbb{P}_{r}是原始分布，\mathbb{P}_{g}是目标分布。\mathbb{P}_{r}(x)是指在原始分布的x的位置存放了\mathbb{P}_{r}(x)量的货物，即原始分布的x的位置存放的货物量；\mathbb{P}_{g}(x)是目标分布的x位置存放的货物量；如果\mathbb{P}_{r}(x)> \mathbb{P}_{g}(x)，就需要将\mathbb{P}_{r}(x)一部分货物运输到目标分布的其他位置；如果\mathbb{P}_{r}(x)< \mathbb{P}_{g}(x)，就需要将原始分布的其他位置的货物运输到该目标分布的位置。\gamma(x,y) 表示，从原始分布的x位置搬\gamma(x,y) d_{x}那么多的货物目标分布的y位置；

因为\gamma \in \prod (\mathbb{P}_{r}, \mathbb{P}_{g})，所以可以得到以下约束：\int \gamma(x,y) dx = \mathbb{P}_{g}(y), \int \gamma(x,y) dy = \mathbb{P}_{r}(x)

根据文献【3】，从离散随机随机变量的角度理解，\int \gamma(x,y) dx = \mathbb{P}_{g}(y)从原始分布的x位置运输到目标分布的y位置的货物量不能超过目标分布y位置的货物容量；\int \gamma(x,y) dy = \mathbb{P}_{r}(x)从原始分布的x位置运输到目标分布的y位置的货物量不能超过原始分布x位置的原有的货物量；（这样理解不知道对不对，本人能力有限，希望各位多多指点）

》inf 表示下确界，即在所有运输方案中，找到总运输成本\int \int \gamma (x,y) \left \| x-y \right \| d_{x} d_{y}最小的方案。

2. 分析Wasserstein GAN 论文的案例1,如何计算得到W(\mathbb{P}_{0},\mathbb{P}_{\theta})=\left |\theta \right |:

Wasserstein GAN中 Earth-Mover (EM) distance 的理解_第2张图片

根据案例的1的描述，可以得到以下示例图：

Wasserstein GAN中 Earth-Mover (EM) distance 的理解_第3张图片

W(\mathbb{P}_{0},\mathbb{P}_{\theta})=\inf_{\gamma \in \prod (\mathbb{P}_{0}, \mathbb{P}_{\theta})} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \gamma (y_{1},y_{2}) \left \| y_{1}-y_{2} \right \| d_{y_{1}} d_{y_{2}}

\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \gamma (y_{1},y_{2}) \left \| y_{1}-y_{2} \right \| d_{y_{1}} d_{y_{2}} \newline=\left | \theta \right | \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \gamma(y_{1}, y_{2}) d_{y_{1}} d_{y_{2}} \newline=\left | \theta \right | \int_{0}^{1} \mathbb{P}_{\theta}(y_{2}) d_{y_{2}} \newline=\left | \theta \right |

以上公式推导过程，主要利用前面\int \gamma(x,y) dx = \mathbb{P}_{g}(y), \int \gamma(x,y) dy = \mathbb{P}_{r}(x)。

 

 

 

 

 

 

参考文献：

【1】https://mp.weixin.qq.com/s/LeycG3bW-TIdHCr2raZPrQ

【2】https://kexue.fm/archives/6280

【3】https://blog.csdn.net/wangdonggg/article/details/32329879?utm_medium=distribute.pc_relevant.none-task-blog-BlogCommendFromMachineLearnPai2-11.nonecase&depth_1-utm_source=distribute.pc_relevant.none-task-blog-BlogCommendFromMachineLearnPai2-11.nonecase

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