[LeetCode] 322.零钱兑换 五种方法讲解

322.零钱兑换 五种方法讲解

1 问题描述

给你一个整数数组 coins ，表示不同面额的硬币；以及一个整数 amount ，表示总金额。

计算并返回可以凑成总金额所需的 最少的硬币个数 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1 。

你可以认为每种硬币的数量是无限的。

示例 1：

输入：coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出：3
解释：11 = 5 + 5 + 1
示例 2：
输入：coins = [2], amount = 3
输出：-1
示例 3：
输入：coins = [1], amount = 0
输出：0

2 问题分析

给人的第一直接就是让程序去尝试所有的可能性，然后将其中所需硬币数量最少的结果进行返回。当需要尝试所有可能性的时候，我们往往会用到树（Tree）这种数据结构。我们假设以coins=[1,2,5], amount=11为例子，试图去用树对这个问题进行建模。我们假定每个节点的数字代表的是当前的金额。

可以看到，从根节点11出发，我们有三个硬币，所以有三个分支，而每一个金额又可以对应新的三个节点，如果节点的值为0，也就是说当前的金额就是0，说明任务完成了，我们成功凑出了金额，如果小于0，那就说明当前分支不能够凑出该金额。

3 解决策略

3.1 递归-暴力解决

根据上面的分析，发现这个问题很容易可以被拆解成递归的方式去解决，每个子问题就是找到当前金额所需的最少硬币数量，如果当前金额为0，那么就返回当前硬币的数量，这是递归的退出条件之一，除此之外，当金额小于0时，也需要返回值。考虑到所需要的硬币数量不可能大于amount + 1，在金额小于0时，说明不可以凑成我们想要的数，那么我们就返回一个amount + 1来表示当前的分支是不能凑成所需金额的。

class Solution(object):
	def coinChange(self, coins, amount):
    	def helper(coins, curAmount, numOfCoins):
            globalMin = amount + 1
            if curAmount == 0:
                return numOfCoins
            if curAmount < 0:
                return amount + 1
            for coin in coins:
                curMin = helper(coins, curAmount - coin, numOfCoins + 1)
                globalMin = min(curMin, globalMin)
            return globalMin
       	return helper(coins, amount, 0)

时间复杂度：$O(n^S)$， 其中 S 是要凑的金额数amount，而 n 是所拥有的硬币数量。这是因为考虑到树结构最多的层数不会超过$S$，而分支的数量则取决于硬币的个数。
空间复杂度：$O(S)$，因为至多需要存储$S$个值来得到amount。

3.2 递归-加入存储

如果细心的话会发现，在计算过程中有很多重复计算的部分，所以我们可以加入存储，如果当前的金额已经被计算出来，那我们就直接返回结果即可。

class Solution(object):
    def coinChange(self, coins, amount):
        self.cache = {}
        def helper(coins, curAmount):
            if curAmount in self.cache:
                return self.cache[curAmount]
            globalMin = amount + 1
            if curAmount == 0:
                return 0
            if curAmount < 0:
                return amount + 1
            for coin in coins:
                curMin = helper(coins, curAmount - coin)
                if curMin == globalMin:
                    continue
                globalMin = min(curMin + 1, globalMin)
            self.cache[curAmount] = globalMin
            return globalMin
        
        result = helper(coins, amount)
        return -1 if result == amount + 1 else result

这样做之后时间复杂度就可以减少到$O(Sn)$，这是因为每一次的计算步骤至多需要$S$次运算，而我们每次都需要计算所有不同面额的硬币的可能性，所以一共需要计算两者的乘积。

3.3 BFS

上述两种递归方法更偏向于深度优先遍历，但是就我们的问题而言，其实并不需要这样做，实际上，如果使用BFS遍历的方法，当我们找到第一次amount为0的时候，就已经代表我们找到了结果，因为当前树的层数一定是最少的。

import collections
class Solution(object):
    def coinChange(self, coins, amount):
        q = collections.deque([(amount, 0)])
        seen = set([amount])
        
        while q:
            curAmount, numOfCoins = q.popleft()
            if curAmount == 0:
                return numOfCoins
            for coin in coins:
                if curAmount - coin >= 0 and curAmount - coin not in seen:
                    q.append((curAmount - coin, numOfCoins + 1))
                    seen.add(curAmount - coin)
        return -1

3.4 动态规划-自上而下

如果从动态规划的角度来考虑问题，还是以老例子为例，想要求解$F(11)$，那其实就是求解$min(F(11-coi{n}_1)+1,F(11-coi{n}_2)+1,F(11-coi{n}_3)+1)$，而当中的每一项都可以被继续分解，直到$F(0)$。而$F(0)$的意思是凑出0元所需的硬币个数，结果显然是0。

class Solution(object):
    def coinChange(self, coins, amount):
        seen = {}
        def helper(curAmount):
            if curAmount in seen:
                return seen[curAmount]
            if curAmount == 0:
                return 0
            if curAmount < 0:
                return amount + 1
            minNumOfCoins = amount + 1
            for coin in coins:
                minNumOfCoins = min(helper(curAmount - coin) + 1, minNumOfCoins)
            seen[curAmount] = minNumOfCoins
            return minNumOfCoins
        result = helper(amount)
        return result if result != amount + 1 else -1

3.5 动态规划-自下而上

有了上面的思路，我们同样可以从反方向来考虑这个问题，先给定$F(0)$，然后再去求解$F(1)$，$F(2)$，以此类推，直到$F(amount)$为止。

import collections
class Solution(object):
    def coinChange(self, coins, amount):
        q = collections.deque([(amount, 0)])
        seen = set([amount])
        
        while q:
            curAmount, numOfCoins = q.popleft()
            if curAmount == 0:
                return numOfCoins
            for coin in coins:
                if curAmount - coin >= 0 and curAmount - coin not in seen:
                    q.append((curAmount - coin, numOfCoins + 1))
                    seen.add(curAmount - coin)
        return -1