深度学习优化算法：Adam算法
原文链接：动手学深度学习pytorch版：7.8 Adam算法
github：https://github.com/ShusenTang/Dive-into-DL-PyTorch
[1] Kingma, D. P., & Ba, J. (2014). Adam: A method for stochastic optimization. arXiv preprint arXiv:1412.6980.
论文链接
Adam算法
Adam算法在RMSProp算法基础上对小批量随机梯度也做了指数加权移动平均 [1]。下面我们来介绍这个算法。
所以Adam算法可以看做是RMSProp算法与动量法的结合。
算法
Adam 算法使用了动量变量 v t v_t vt 和 RMSProp 算法中小批量随机梯度按元素平方的指数加权移动平均变量 s t s_t st，并子时间步0将它们中每个元素初始化为0。给定超参数 0 ≤ β 1 < 1 0 ≤ β_1 < 1 0≤β1<1 （算法作者建议设置为 0.9），时间步 t t t 的动量变量 v t v_t vt 即小批量随机梯度 g t g_t gt 的质数加权移动平均：
v t ← β 1 v t − 1 + ( 1 − β 1 ) g t {{\text{v}}_{t}}\leftarrow {{\beta }_{1}}{{\text{v}}_{t-1}}+(1-{{\beta }_{1}}){{g}_{t}} vt←β1vt−1+(1−β1)gt
和RMSProp算法中一样，给定超参数 0 ≤ β 2 < 1 0 ≤ β_2 < 1 0≤β2<1（算法作者建议设为0.999），将小批量随机梯度按元素平方后的项 g t ⊙ g t {{g}_{t}}\odot {{g}_{t}} gt⊙gt 做指数加权移动平均得到 s t s_t st：
s t ← β 2 s t − 1 + ( 1 − β 2 ) g t ⊙ g t {{s}_{t}}\leftarrow {{\beta }_{2}}{{s}_{t-1}}+(1-{{\beta }_{2}}){{g}_{t}}\odot {{g}_{t}} st←β2st−1+(1−β2)gt⊙gt
由于我们将 v 0 v_0 v0 和 s 0 s_0 s0 中的元素都初始化为0， 在时间步 t t t 我们得到 v t = ( 1 − β 1 ) ∑ i = 1 t β 1 t − i g i {{v}_{t}}=(1-{{\beta }_{1}})\sum\nolimits_{i=1}^{t}{\beta _{1}^{t-i}{{g}_{i}}} vt=(1−β1)∑i=1tβ1t−igi。将过去各时间步小批量随机梯度的权值相加，得到 ( 1 − β 1 ) ∑ i = 1 t β 1 t − i = 1 − β 1 t (1-{{\beta }_{1}})\sum\nolimits_{i=1}^{t}{\beta _{1}^{t-i}=1-}\beta _{1}^{t} (1−β1)∑i=1tβ1t−i=1−β1t 。需要注意的是，当 t t t 较小时，过去各时间步小批量随机梯度权值之和会较小。例如，当 β 1 = 0.9 {{\beta }_{1}}=0.9 β1=0.9时， v 1 = 0.1 g 1 {{v}_{1}}=0.1{{g}_{1}} v1=0.1g1。为了消除这样的影响，对于任意时间步 t t t，我们可以将 v t v_t vt 再除以 1 − β 1 t 1-\beta _{1}^{t} 1−β1t，从而使过去各时间步小批量随机梯度权值之和为1.这也叫做偏差修正。在 Adam 算法中，我们对变量 v t v_t vt 和 s t s_t st 均作偏差修正：
v ^ t ← v t 1 − β 1 t {{\hat{v}}_{t}}\leftarrow \frac{{{v}_{t}}}{1-\beta _{1}^{t}} v^t←1−β1tvt
s ^ ← s t 1 − β 2 t \hat{s}\leftarrow \frac{{{s}_{t}}}{1-\beta _{2}^{t}} s^←1−β2tst
接下来，Adam算法使用以上偏差修正后的变量 v ^ t {{{\hat{v}}}_{t}} v^t 和 s ^ {\hat{s}} s^ ，将模型参数中每个元素的学习率通过按元素运算重新调整：
g ′ t ← η v ^ t s ^ t + ε g{{'}_{t}}\leftarrow \frac{\eta {{{\hat{v}}}_{t}}}{\sqrt{{{{\hat{s}}}_{t}}}+\varepsilon } g′t←s^t+εηv^t
其中 η \eta η 是学习率， ϵ \epsilon ϵ 是为了维持数值稳定性而添加的常数，如 1 0 − 8 10^{-8} 10−8。和 AdaGrad 算法、RMSProp 算法以及AdaDelta 算法一样，目标函数自变量中每个元素都分别拥有自己的学习率。最后，使用 g t ′ g'_t gt′ 迭代自变量：
x t ← x t − 1 − g t ′ {{x}_{t}}\leftarrow {{x}_{t-1}}-g_{t}^{'} xt←xt−1−gt′
从零开始实现
我们按照Adam算法中的公式实现该算法。其中时间步 t t t 通过 hyperparams 参数传入 adam 函数。
%matplotlib inline
import torch
import sys
sys.path.append("..")
import d2lzh_pytorch as d2l
features, labels = d2l.get_data_ch7()
def init_adam_states():
v_w, v_b = torch.zeros((features.shape[1], 1), dtype=torch.float32), torch.zeros(1, dtype=torch.float32)
s_w, s_b = torch.zeros((features.shape[1], 1), dtype=torch.float32), torch.zeros(1, dtype=torch.float32)
return ((v_w, s_w), (v_b, s_b))
def adam(params, states, hyperparams):
beta1, beta2, eps = 0.9, 0.999, 1e-6
for p, (v, s) in zip(params, states):
v[:] = beta1 * v + (1 - beta1) * p.grad.data
s[:] = beta2 * s + (1 - beta2) * p.grad.data**2
v_bias_corr = v / (1 - beta1 ** hyperparams['t'])
s_bias_corr = s / (1 - beta2 ** hyperparams['t'])
p.data -= hyperparams['lr'] * v_bias_corr / (torch.sqrt(s_bias_corr) + eps)
hyperparams['t'] += 1
使用学习率为0.01的Adam算法来训练模型。
d2l.train_ch7(adam, init_adam_states(), {'lr': 0.01, 't': 1}, features, labels)
输出：
loss: 0.245370, 0.065155 sec per epoch
简洁实现
通过名称为“Adam”的优化器实例，我们便可使用PyTorch提供的Adam算法。
d2l.train_pytorch_ch7(torch.optim.Adam, {'lr': 0.01}, features, labels)
输出：
loss: 0.242066, 0.056867 sec per epoch
小结
- Adam算法在RMSProp算法的基础上对小批量随机梯度也做了指数加权移动平均。
- Adam算法使用了偏差修正。