后缀自动机（SAM）讲解 + Luogu p3804【模板】后缀自动机 (SAM)
SAM
后缀自动机可以存储某一个字符串的所有子串。
一、概念
下图是一个 字符串 "aababa" 的 后缀自动机。
上图中的 黑色边 称 转移边，绿色边 称 链接边。
从根节点沿转移边所走的路径对应一个子串。
根节点表示空串，其他节点 表示 同类子串 的 集合。（同类子串 是指 末尾字母、结束位置相同的子串）
- 解释：上图中，绿色边与节点 构成一棵树（之后再解释），黑色边与节点 构成一张有向无环图，以
6号点 为例，共有3条路径 可以 到达6号点，即6号点代表3个不同的子串（表示 子串的集合） - 例如 上图中的节点代表集合：
② ={ a }③ ={ aa }④ ={ aab }⑤ ={ aaba }
⑥ ={ aabab，abab，bab }⑦ ={ ab，b }
⑧ ={ aababa，ababa，baba}
⑨ ={ aba，ba } - 发现：同一集合 中的 所有字符串，末尾字母相同，且结束位置相同。（“同类子串集合” 含义），如对于 ⑦ 集合 来说，
endpos("ab") = endpos("b") = { 3，5 }
二、构建后缀自动机
构建后缀自动机 的过程是一个 动态的过程，也就是 一个一个节点的插入，两类边（转移边，链接边）交替构建。过程中应当 维护 3 个数组：
ch[x][c]：存 节点x的 转移边的终点。例：ch[1][b] = 7, ch[2][b] = 7（从上图中 ①、② 节点 沿着b这条边 能走到 ⑦ 这个 终点）fa[x]：存 节点x的 链接边的终点。例：fa[7] = 1，fa[6] = 7（从上图中 ⑦ 节点 沿着绿边 能走到 ① 这个 终点）len[x]：存 节点x的 最长串的长度。例：len[6] = 5，len[7] = 2（⑥ 号点所代表的字串中 最长串的长度为5）
三、建后缀链接树
构建后缀自动机的目的 并不是在图上进行匹配，而是从图中抽离出 绿色的链接边，构建出一棵树。仔细观察上图，我们发现，每个节点有且只有一条绿色链接边指向其父节点，因此我们可以构造如下图的一棵树，我们称之为 “后缀链接树”：
这棵树有什么 特点？
- 树上节点 表示 同类子串 及其 结束位置 的 集合。（我们将图上的信息完全转移到了这棵树上）
其 合法性：子节点 的 最短串 的 最长后缀 = 父节点 的 最长串，
- 如树中的 ⑥ 号节点 最短串为
“bab”，它 不包括自身的最长后缀是“ab”，恰好等于 其父节点 ⑦ 号节点的 最长串“ab”。同样，对于 ⑦ 节点，其 最短串是“b”，它 不包括自身的最长后缀为 空，恰好等于 根节点 ① 的最长串 空。
还可以 发现，从 叶节点往上一直走到根节点 的过程中，字符串的长度 是 递减的，且除了 空 之外，字符串 末尾字母相同，
既然树上存储子串有这些 性质和规律，那我们就可以利用它们来 解决一些问题：
- 节点的子串长度：最长
len[6] = 5，最短len[6] - len[7] = 3
（对于 最短串长度，我们可以在 遍历的过程中，找出 当前节点 及其 父节点 最长串 长度，二者作差即为当前节点最短串长度） - 节点的子串数量：
len[6] - len[7] = 3，len[7] - len[1] = 2
（与求当前节点最短串的长度做法一致，将当前节点及其父节点最长串长度作差即可） - 子串的出现次数：
cnt[4] = 1，cnt[6] = 1，cnt[7] = 2
（上面画的这棵树中，节点旁边的 蓝色数字 代表着 节点代表字符串出现的位置，如 ⑥ 号节点，其代表的所有字符串都 只在5位置出现一次，④ 也是如此，而 ④、⑥ 节点的父节点 ⑦ 对应的“ab”、“b”两个串 同时 在3、5位置出现，也就是对应出现了 两次，而且我们发现 ⑦ 对应的次数 恰好是 其两个儿子 ④、⑥ 次数之和）
四、构建后缀自动机的具体步骤（extend 函数）
所有步骤 必须 满足上文所说的 “合法性”，这样一来才方便 抽离链接树并进行统计。
我们使用 变量 tot 为节点进行编号，根节点 为 1 号点，指针 np 总是 指向最末创建的节点，也是 从根节点开始（根节点 默认，无需创建）
int tot = 1, np = 1;
接下来就是 3 个数组，
//fa 链接边终点，ch 转移边终点，len 最长串长度
int fa[N], ch[N][26], len[N];
传入 extend 函数 中的 参数 是一个 偏移量 c（0 ~ 25：a ~ z，认为 传入的是一个字符）
构建的关键是 4 个指针：
p：动态回跳指针，np：固定指向 新点指针，q：固定指向 链接点，nq：指向 新链接点。
先是 构建 “前奏”：若 ch[p][c] 不存在（p 指向的旧点 沿字符 c 没有可以走到的终点），就 从 p （旧点）向 np （新点）建 转移边。
int p = np; np = ++tot; //p指向旧点，np是新点
len[np] = len[p] + 1; cnt[np] = 1; //子串出现次数
//p沿链接边回跳，从旧点向新点建转移边
while (p && !ch[p][c]) {
ch[p][c] = np;
p = fa[p];
}
如果 退出 for 时 p = 0，说明 c 是个新字符，从 新点 向 根节点 建链接边
if(!p) fa[np] = 1; //1号为根节点
如果 退出 for 时 p > 0，说明 ch[p][c] 存在（p 指向的旧点 沿字符 c 存在可以走到的终点），令 q = ch[p][c]
- (1) 若
p与q的距离= 1，合法，则 从np向q建链接边。 - (2) 若
p与q的距离> 1，不合法，则 裂开q，从np向nq建链接边。
else {//如果c是旧字符
int q = ch[p][c]; //q是链接点
//2.若链接点q合法，从新点向q建链接边
if (len[q] == len[p] + 1) fa[np] = q;
//3.若链接点q不合法，则裂开q点，重建两类边
else {
int nq = ++tot; //nq是新链接点，是给新点找到的一个合法的父亲
len[nq] = len[p] + 1;
// 重建nq, q, np的链接边
fa[nq] = fa[q], fa[q] = fa[np] = nq;
// 指向q的转移边改为指向nq
while (p && ch[p][c] == q) {
ch[p][c] = nq;
p = fa[p];
}
//从q发出的转移边复制给nq
memcpy(ch[nq], ch[q], sizeof ch[q]);
}
}
分析一下 构建过程中 变量的变化：（红色 标识 初始位置，绿色 标识 回跳后的位置）
p：动态回跳指针，np：固定指向 新点指针，q：固定指向 链接点，nq：指向 新链接点
对于上面 插入4个字符过程中，链接点q都是合法的，
而对于下方 插入第 5 个字符 b 时，p = 5，np = 6，就出现不合法的情况了，
我们首先统计一下 ② ~ ⑥ 号节点所代表的字符串集合：
我们将目光放到 ④ 和 ⑥ 节点，对于新点 ⑥，我们应该找 其集合中的最短串的最长后缀（"ab"），显然 只有 ④ 节点包含，但是 ④ 节点 并不合法，因为 其中包含的子串 "ab" 并不是最长的，因此 不满足合法性（无法构造 后缀 链接树），
怎么办呢？这时候我们就要 将 ④ 号非法链接点裂开，
也就是从这种情况
转变为：
不难发现此时已经 增加了一个合法的链接点 ⑦，接下来就要进行一些 建边操作（共三步，可以与代码相对照理解）
（1）更改 fa 链接边，三步走：（观察 裂点前后，两图 边的变化）
- 将 新链接点
nq = 7指向q = 4的父节点：fa[7] = 1; - 将
q = 4节点 和 新裂开的nq = 7节点 链接：fa[4] = 7; - 回到 一开始的目的，给新点找一个 合法链接点：
fa[6] = 7;
// 重建nq, q, np的链接边
fa[nq] = fa[q], fa[q] = fa[np] = nq;
（2）for 循环更改 ch 转移边：由于 ④ 号节点现在只代表 字符串 "aab" 了，因此 原来从 ② 连接到 ④ 和从 ① 连接到 ④ 的边必须要改变指向，具体指向为 新的节点 ⑦。对应上图：ch[2][b] = 7, ch[1][b] = 7;（观察 裂点前后，两图 边的变化）
// 指向q的转移边改为指向nq
while (p && ch[p][c] == q) {
ch[p][c] = nq;
p = fa[p];
}
（3）创建 从新链接点连出的转移边（有进有出），复制即可：cpy：ch[7][a] = 5;（观察 裂点前后，两图 边的变化）
//从q发出的转移边复制给nq
memcpy(ch[nq], ch[q], sizeof ch[q]);
按照下面的 模型 可以方便理解记忆代码：
下面 不合法的过程 可在纸上模拟：
注意：
-
可以证明，长度为
n的字符串，最多会建2n - 1个点和3n - 4条边。例如abb…bb。 -
时间和空间复杂度都是
O(n) -
建链接树时，点和边都开
2n的空间 -
节点
7和9是为了 满足子串集合链接的合法性 而创建的，并没影响子串的出现次数，所以cnt[7，9] = 0
SAM 重点：
代码板子：（extend 函数）
void extend(int c) {
int p = np;
np = ++tot;
len[np] = len[p] + 1, cnt[np] = 1;
while (p && !ch[p][c]) {
ch[p][c] = np;
p = fa[p];
}
if (!p) {
fa[np] = 1;
}
else {
int q = ch[p][c];
if (len[q] == len[p] + 1) fa[np] = q;
else {
int nq = ++tot;
len[nq] = len[p] + 1;
fa[nq] = fa[q], fa[q] = fa[np] = nq;
while (p && ch[p][c] == q) {
ch[p][c] = nq;
p = fa[p];
}
memcpy(ch[nq], ch[q], sizeof ch[q]);
}
}
}
例题【模板】后缀自动机 (SAM)
题目描述
给定一个只包含小写字母的字符串 S S S。
请你求出 S S S 的所有出现次数不为 1 1 1 的子串的出现次数乘上该子串长度的最大值。
输入格式
一行一个仅包含小写字母的字符串 S S S。
输出格式
一个整数，为所求答案。
样例 #1
样例输入 #1
abab
样例输出 #1
4
提示
对于 10 % 10 \% 10% 的数据， ∣ S ∣ ≤ 1000 \lvert S \rvert \le 1000 ∣S∣≤1000。
对于 100 % 100\% 100% 的数据， 1 ≤ ∣ S ∣ ≤ 10 6 1 \le \lvert S \rvert \le {10}^6 1≤∣S∣≤106。
思路：
构建后缀自动机，之后再后缀链接树上用深度优先遍历进行统计。
代码：（板子）
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
//#define map unordered_map
//#define int long long
const int N = 1e6 + 10;
typedef long long ll;
char s[N];
int tot = 1, np = 1;
int fa[N << 1], ch[N << 1][26], len[N << 1];
ll cnt[N << 1], ans;
vector<int> g[N << 1];
void extend(int c) {
int p = np;
np = ++tot;
len[np] = len[p] + 1, cnt[np] = 1;
while (p && !ch[p][c]) {
ch[p][c] = np;
p = fa[p];
}
if (!p) {
fa[np] = 1;
}
else {
int q = ch[p][c];
if (len[q] == len[p] + 1) fa[np] = q;
else {
int nq = ++tot;
len[nq] = len[p] + 1;
fa[nq] = fa[q], fa[q] = fa[np] = nq;
while (p && ch[p][c] == q) {
ch[p][c] = nq;
p = fa[p];
}
memcpy(ch[nq], ch[q], sizeof ch[q]);
}
}
}
void dfs(int u) {
for (auto v : g[u]) {
dfs(v);
cnt[u] += cnt[v];
}
if (cnt[u] > 1) ans = max(ans, cnt[u] * len[u]);
}
signed main()
{
scanf("%s", s);
for (int i = 0; s[i]; ++i) {
extend(s[i] - 'a');
}
for (int i = 2; i <= tot; ++i) {
g[fa[i]].push_back(i);
}
dfs(1);
cout << ans << '\n';
return 0;
}