张量分解法
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二、张量 CP 分解_上官永石的博客-CSDN博客_张量的cp分解
补充张量分解算法
一、CP分解是张量分解中的一个分支，那么什么是张量分解？
一般一维数组，我们称之为向量（vector）,二维数组，我们称之为矩阵（matrix）;三维数组以及多位数组，我们称之为张量（tensor）。
- 张量使用手写风格的大写字母表示
；三阶张量
的第（i,j,k）个元素为
- 某个序列中的第n个元素使用带括号的上标来表示，
表示一系列矩阵中的第n个矩阵； - 张量的阶(order)也就是张量的维度，也称为张量的模(mode)；
纤维(fiber)表示从张量中抽取向量的操作， 规定其它维度只保持一个维度变化。
向量内积和外积
三个向量的外积：
两个矢量的外积是一个矩阵，三个矢量的外积是一个三阶矩阵。计算三个矢量的外积，我们可以用前两个矢量外积的矩阵，分别乘以第三个矢量的每个元素，得到第若干个矩阵按照正面切片拼接为新的张量。
对矢量
其外积记为;
我们用
的第一个元素和上面的矩阵相乘，得到第一个切片，即
单秩张量（Rank-one）
如果一个N阶张量
能够写成N个向量的外积，即
那么，该张量就称为单秩张量。
从微观的角度来看，张量的每一个元素都是由对于向量的分量相乘得到的：
可以理解为，每个向量表示最终张量的一个维度，向量的分量则是张量维度取值乘积中的一项。
张量展开：
将 N阶张量 
沿mode-n展开成一个矩阵
(mode-1, 对应着张量的第一阶；mode-2, 对应着张量的第二阶；mode-3 对应着张量的第三阶)。
例子：张量的展开
CP 分解( Canonical Polyadic Decomposition ，CPD)
CP分解就是将一个张量分解成多个单秩张量的和。
例如，给定一个三阶张量
将一个张量表示成有限个秩一张量之和，比如一个三阶张量可以分解为：
如果我们记
我们称 A,B,C 为因子矩阵，则张量可以表示为：
即为cp分解。
通常，假设矩阵A ，B和C的列向量是标准化后的向量，我们引入一个权重向量
来表示每个秩一矩阵所占权重，则分解可以记为如下形式：
三阶张量是应用当中最为广泛也往往是足够满足我们需求的张量。但是对于一个N阶的张量
其 CP 分解可以被写为：
其中
CP分解的矩阵形式：
因子矩阵： 秩一张量中对应的向量组成的矩阵，如
利用因子矩阵，一个三阶张量的CP分解可以写成展开形式：
也就是得到如下近似：
以上的模型还可以用张量的正面切片方式表示为：
其中，
k=1,......,K,整个表示可以用下图表示：
对于高维的张量，其 mode - n 矩阵化可以写为：
其中 
例子：张量与矩阵相乘，若给定张量 
这一运算规则也不难发现，张量 Y 的大小为 3 × 2 × 2 以（1，1，1）位置为例：
再以（1，1，2）位置为例：
交替最小二乘法求解
下面以三阶张量 X 为例介绍如何使用ALS计算CP分解的因子矩阵 A 、 B 、 C 。首先我们的最终目标是让由 A 、 B 、 C 估计得到的张量
尽可能的接近原始张量
，即：
上面的问题可以作为 ALS 的一个子问题，因为分解可以表示为：
则问题可以转变为固定 B , C 求解
其中
表示张量 X的模式1展开为矩阵，
=
为X的广义逆
根据性质：
可以得到：
=