张量学习（10）：纤维，切片，张量展开

1.纤维（fiber）

纤维是指从张量中抽取向量的操作。在矩阵中固定其中一个维度，可以得到行或者列。类似于矩阵操作，保留一个维度变化，固定其它维度，可以得到有纤维的概念。

以三阶张量为例：

1>固定$j,k$方向

$mode-1$(列) 纤维：$X_{:jk}$

相当于将$i$方向上的每个小方块串起来，形成一个整条（即为一个向量）

2>固定$i,k$方向

$mode-2$(行) 纤维：$X_{i:k}$

相当于将$j$方向上的每个小方块串起来，形成一个整条（即为一个向量）

3>固定$i,j$方向

$mode-3$(管) 纤维：$X_{ij:}$

相当于将$k$方向上的每个小方块串起来，形成一个整条（即为一个向量）

2.切片（slice）

切片操作是指在张量中抽取矩阵的操作。在张量中如果保留两个维度变化，固定其它维度，可以得到一个矩阵，这个矩阵即为张量的切片。

1>固定$i$方向

水平切片：$X_{i::}$

相当于在$mode-2$(行) 纤维：$X_{i:k}$基础上将$k$方向上的向量串起来（即为一个矩阵）

2>固定$j$方向

侧面切片：$X_{:j:}$

相当于在$mode-1$(列) 纤维：$X_{:jk}$基础上将$k$方向上的向量串起来（即为一个矩阵）

3>固定$k$方向

正面切片：$X_{::k}$

相当于在$mode-1$(列) 纤维：$X_{:jk}$基础上将$j$方向上的向量串起来（即为一个矩阵）
一个更直观的立体图：

3.展开（matricization/unfolding/flattening）

定义：将$N$阶张量$x$沿$mode-n$展开成一个矩阵$X_{(n)}$。
通俗的讲：就是把这一片一片的拼凑的方式不同：

张量展开相当于就是矩阵化，矩阵化就是将一个张量变换成一个矩阵。
我们可以根据$fiber$的方向来进行不同的矩阵化。
假设我们有一个张量：
$$A=\begin{array}{cccc}& & 5& 6\\ & & 7& 8\\ 1& 2& & \\ 3& 4& & \end{array}$$

1>$mode-1Matricization$

相当于：

2>$mode-2Matricization$

相当于：

3>$mode-3Matricization$

相当于：

4>张量展开例子

我们假设有一个$4\times 3\times 2$的张量

按着第一种的展开：

按着第二种的展开：

按着第三种的展开：

个人思考：

纤维就是在张量中抽取向量，切片就是在张量中抽取矩阵，展开就是将张量展开为矩阵。