EMD（Earth Mover's Distance）概念及代码

最近在做一点图像分割的工作。有一种做法是先对图像做过分割，然后再对分割后的小区域进行合并。合并时就需要衡量两个区域之间色彩分布的相似程度，这时就碰到了EMD（Earth Mover’s Distance，中文似乎是地动距离）

根据这个帖子，EMD是一种距离度量的定义，可以用来测量某两个分布之间的距离。EMD主要应用在图像处理和语音信号处理领域，在自然语言处理上很少有听说。

跟EMD有关的数学推导略去不表，直观地说，EMD实际上是线性规划中运输问题的最优解，即：已有的货物存在于仓库P1…PN中，存量分别是p1…pn，需要将货物运输至仓库Q1……QM中，其存量分别为q1…qm。从仓库P到仓库Q的距离用矩阵[d_ij]来描述。根据其物理意义，每个仓库Pi的出货量不能超过其存量，每个仓库Qj的进货量不能大于其容量，运输的货物总量不能超过p1…pn之和，也不能超过q1…qm之和。在此约束下，求代价最小的运输方案[f_ij]，实际上就是求矩阵F，使得sum( sum( F .* D ) )最小（csdn编辑公式不便，这里用了MATLAB的语法）。我觉得比较有趣的一点是，这里的N和M不需要相等。

如果我们考察的不是货物的存量，而是概率分布，那么上面的不等式约束可以直接写成等式约束，库存就是特征取不同值时的概率分布，矩阵D是我们在两个特征之间定义的某种距离。这就是我遇到的问题。

这种线性规划的问题解法貌似不难，但是涉及到数值计算的话总是有很多麻烦事儿。幸好又有人造福大众了，地址在这里：FastEMD。作者提供了C、MATLAB、Java三种接口，只是要求如果你用这个工具包做实验，文章里需要引用他们的论文。