图像平滑之二维离散卷积

学习资料参考：

张平.《OpenCV算法精解：基于Python与C++》.[Z].北京.电子工业出版社.2017.

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基础概念

二维离散卷积是在两个矩阵的基础上的一种计算方式，如下所示：
$I=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$,$K=\left(\begin{array}{cc}-1& -2\\ 2& 1\end{array}\right)$.

计算方式为：

1. 将$K$进行逆时针旋转$180^o$,则$K=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ -2& -1\end{array}\right)$.
2. 将矩阵$K$沿着$I$按照先行后列的顺序移动，每移动一个位置，就进行对应位相乘求和。演示过程如下所示：
   
   得到矩阵$C=\left(\begin{array}{ccc}-1& -4& -4\\ -1& -5& -6\\ 6& 11& 4\end{array}\right)$，矩阵$C$的高与宽满足：
   矩阵C的高 = 矩阵I的高 + 矩阵K的高 - 1； 矩阵C的宽 = 矩阵I的宽 + 矩阵K的宽 - 1；
   而矩阵$K$就称为卷积核，或者卷积算子。

卷积种类

1. full卷积
   
   full卷积形式橙色部分为卷积算子。
   边界扩充方式：

• 在红色矩阵边界外填充常数，通常进行的是0扩充。
• 重复红色矩阵边界处的行和列，对输入矩阵进行扩充。
• 以矩阵边界为中心，令矩阵外某位置上未定义的灰度值等于图像内其镜像位置的灰度值，该种方式会产生最小的影响。

2. same卷积
   

same卷积形式橙色部分为卷积算子,相比较于ful形式重合部分更多,即卷积算子的中心处于红色部分中时开始计算，在合适的步长情况可保证输入与输出图像大小一致。很明显same卷积是full卷积的子集。
3. valid卷积

卷积算子只存在于原图中。