Python和C++计算物理光学波形化学结构数学方程

要点

1. Python | C++代码化排序索引​和计算​：冒泡排序，升序排序，快速排序，索引排序，基于索引数组的排名，基于直接插入的两个键索引，两个相关数组的索引。数学计算1：数据集升序排列后，生成索引和排名​。数学计算2：一定量序列排序后，生成得新索引表，并绘制原始序列。计算3：一定量序列进行冒泡排序，插入排序，快速排序，绘制一张图显示三种排序依赖性，分别定性评估小型和广泛序列的排序算法的性能。
2. Python | C++代码化霍纳法评估多项式和计算：幂级数展开的指数，连分数正切函数，递归关系的正交多项式，球谐函数 - 相关勒让德函数，球面贝塞尔函数。数学计算1：计算多项式一阶导数的系数，绘制五次勒让德多项式；数学计算2：使用幂级数展开计算函数正弦和反正弦。数学计算3：使用连分数计算指数函数。物理计算4：计算球谐得范数平方并绘制极坐标图。物理计算5：计算给定阶和角度得所有球谐函数和相同阶勒让德多项式之积。物理计算6：球形电磁波的传播由标量亥姆霍兹方程描述，该方程在球坐标中分离变量后，可得出径向方程，其解为圆柱贝塞尔函数和诺依曼函数，计算该函数解并绘图。物理计算7：氢原子波相关勒让德函数，绘制径向概率密度。
3. Python | C++代码化代数方程和计算：求解真值根：二分法，错误方法的规则，连续近似法，牛顿-拉夫逊法，割线法，伯奇-维塔法，多维函数系统的雅可比行列式，非线性方程组的牛顿法。数学计算1：使用二分法求解指定多项式。数学计算2：使用二分法和割线法返回多项式收敛迭代次数。物理计算3：使用开普勒方程，求解哈雷彗星偏心异常角度值并绘图，使用牛顿法求解整个旋转周期的偏心异常角度值。物理计算4：夫琅和费衍射强度分布，绘制分布图：强度分方程及其第一导数方程，使用割线法和初始近似值求解主衍射最大值半宽，使用错误方法得规则，求解给定范围内强度最大值。物理计算5：普朗克定律表示热平衡状态下黑体发射的电磁辐射的光谱能量密度，绘制光谱能量密度图，求解光谱能量密度的导数的最大值。物理计算6：对给定的圆与抛物线方程，使用雅可比和牛顿法求其交点。数学计算7：求解给定三元非线性方程组。
4. Python | C++ 代码化线性方程组和计算：求解矩阵方程：部分旋转的高斯消元法，部分旋转高斯-乔丹消元法，部分旋转和矩阵求逆的高斯-约尔消元法，完整旋转高斯-乔丹消元法，使用杜立特法对矩阵 LU 分解，使用 LU 分解的矩阵求逆，三角矩阵求逆，对称正定矩阵的 Cholesky 分解求解，使用 Cholesky 分解的正定矩阵求逆，求解三对角矩阵的线性系统，高斯-赛德尔法求解线性方程组。数学计算1：使用高斯-乔丹消元解矩阵方程。数学计算2：使用LU 因式分解给定方程组。数学计算3：使用LU 因式分解求解三对角矩阵。数学计算4：使用高斯-乔丹消元解非奇异矩阵，检查恒等式。数学计算5：计算矩阵恒等式，并随机生成二维矩阵以及求逆。数学计算6：使用 Cholesky 分解计算对称正定矩阵的逆，生成随机二维下三角矩阵，生成正定矩阵。物理计算7：求逆多贝希斯 D4 小波变换。
5. Python | C++代码化特征值和计算：数学计算1：使用函数 Jacobi 证明随机可逆对称矩阵。物理计算2：无质量的弹性振动弦正常振动模式下的频率和位移。化学计算3：从四方甲烷分子各个坐标中减去质心坐标，将分子置于其质心系统中，计算笛卡尔坐标下质心系统中分子的惯性张量，求解惯性张量的特征值，使用转置变换矩阵将原子坐标旋转到主轴系，可视化坐标结果。物理计算4：从飞机各个坐标中减去质心坐标，将其放置在质心系统中，计算飞机在笛卡尔质心系统中的惯性张量，从惯性张量的特征值确定主惯性矩，使用转置变换矩阵将飞机坐标旋转到主轴系，分别对飞机施加给定角度的“偏航”和“滚转”，可视化其结果。化学计算5：在 Hückel 理论框架下，找到环苯分子的特征能和特征向量。化学计算6：基于水分子电子结构的密度泛函理论计算，对水分子的鲁坦方程求解泛化特征值。
6. Python | C++ 代码化列表函数的建模，蒙特卡罗方法，常微分和偏微分方程。

Python可视化电场示例

让我们回忆一下库仑定律：来自位于 $r_0$ 处的单个点电荷 $q_0$ 的位于 $P$ 点（位置 $r$）的测试电荷 $Q$ 上的力由下式给出：
$$\mathbf{F}\ast 0=k\frac{q\ast 0Q}{{\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}\ast 0\right)}^2}\frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}\ast 0}{\left|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}_0\right|}$$
其中库仑常数是 $k=1/\left(4\pi {ϵ}_0\right)$ SI 单位（${ϵ}_0$ 是自由空间的介电常数）。 力与两个电荷的乘积成正比，与两个电荷之间的距离的平方成反比，并沿着从电荷 $q_0$ 到电荷 $Q$ 的线点。电场就是力 $F_0$ 与电荷 $Q$ 的比值。 测试电荷 $Q$ 在测试电荷的大小变为零的极限。 在实践中，这给了我们：
$$\mathbf{E}\ast 0(\mathbf{r})=kq\ast 0\frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}\ast 0}{{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}\ast 0\right|}^3}$$
在那里我们取消了 $Q$，并借此机会合并了两个分母。 这是由 $r_0$ 处的点电荷 $q_0$ 引起的 $r$ 位置处的电场。

如果我们面临多个点电荷，我们可以应用叠加原理：$Q$ 上的合力由作用在 $Q$ 上的各个力的矢量和组成。 因此，如果我们处理 $n$ 点电荷 $q_0,q_1,\dots ,q_{n-1}$ 分别位于 $\mathbf{r}\ast 0,\mathbf{r}\ast 1,\dots ,{\mathbf{r}}_{n-1}$ 处，则情况如图 1.5 所示。 为了便于查看，我们的图形是二维的，但形式主义同样适用于三个维度。 位置 $r$ 处的总电场为：
$$\mathbf{E}(\mathbf{r})=\sum _{i=0}^{n-1}\mathbf{E}\ast i(\mathbf{r})=\sum \ast {i=0}^{n-1}k{q}_i\frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}\ast i}{{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}\ast i\right|}^3}$$
即，单个电场贡献的总和，${\mathbf{E}}_i(\mathbf{r})$。 请注意，您可以考虑空间中任何一点的总电场 $r$。 另请注意，电场是一个矢量：在空间中的任何点，该 $E$ 都有大小和方向。 可视化矢量场的一种方法包括绘制场线，即帮助我们跟踪场方向的假想曲线。 更具体地说，给定点的场线的切线为我们提供了该点的电场方向。 场线不交叉； 它们以正电荷（“源”）开始，以负电荷（“汇”）结束。

绘制场线

我们将在 Python 中绘制电场线； 虽然存在更复杂的向量场可视化方法（例如，线积分卷积），但我们在下面描述的内容应该足以让您对事物有定性的感觉。 虽然绘图函数（甚至库）的变化往往比编程基础设施的其他方面快得多，但无论具体实现是什么样子，所讨论的原则都适用。

我们面临两个任务：首先，我们需要根据方程式（3）在电荷附近的几个点产生电场（矢量），其次，我们需要以这样一种方式绘制场线，以便我们可以从物理上解释正在发生的事情。 和前面的代码一样，我们为每个任务创建一个 Python 函数。 为简单起见，我们从一个只有两个点电荷（大小相等，符号相反）的问题开始。 此外，我们将自己限制在两个维度上（笛卡尔坐标 x 和 y）。

代码 1.3 是一个 Python 实现，其中为了简单起见，库仑常数被分开。 我们首先导入 numpy 和 matplotlib，因为繁重的工作将由函数 streamplot() 完成，该函数需要 NumPy 数组作为输入。 我们还导入了平方根和 deepcopy() 函数，它们可以创建一个不同的列表列表。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from math import sqrt
from copy import deepcopy
def makefield(xs, ys):
	qtopos = {1: (-1,0), -1: (1,0)}
	n = len(xs)
	Exs = [[0. for k in range(n)] for j in range(n)]
	Eys = deepcopy(Exs)
	for j,x in enumerate(xs):
		for k,y in enumerate(ys):
			for q,pos in qtopos.items():
				posx, posy = pos
				R = sqrt((x - posx)**2 + (y - posy)**2)
				Exs[k][j] += q*(x - posx)/R**3
				Eys[k][j] += q*(y - posy)/R**3
	return Exs, Eys
def plotfield(boxl,n):
	xs = [-boxl + i*2*boxl/(n-1) for i in range(n)]
	ys = xs[:]
	Exs, Eys = makefield(xs, ys)
	xs=np.array(xs); ys=np.array(ys)
	Exs=np.array(Exs); Eys=np.array(Eys)
	plt.streamplot(xs, ys, Exs, Eys, density=1.5, color=‘m’)
	plt.xlabel(‘$x$’)
	plt.ylabel(‘$y$’)
	plt.show()
plotfield(2.,20)

函数 makefield() 接受两个列表 xs 和 ys，对应于我们希望评估电场的坐标（x 和 y 一起构成 r）。我们还需要某种方式来存储点电荷所在的 $r_i$。我们选择将这些存储在字典中，该字典从电荷 $q_i$ 映射到位置 $r_i$。

对于每个位置 $r$，我们需要评估 $\mathbf{E}(\mathbf{r})$：在二维中，它由 $E_x(\mathbf{r})$ 和 $E_y(\mathbf{r})$ 组成，即总电场的两个笛卡尔分量。目前只关注其中一个，比如 $E_x(\mathbf{r})$，我们意识到我们需要为任何可能的 $r$ 存储它的值，即对于任何可能的 x 和 y 值。我们决定使用由嵌套列表推导式生成的列表列表。然后我们为 $E_y(\mathbf{r})$ 创建另一个列表列表。

我们需要绘制（即存储）总电场的 x 和 y 分量的值，在所有所需的值向量 r，即在由 xs 和 ys 组成的二维网格上。这需要计算给定 x 的所有可能 y 处的电场（来自给定点电荷 $q_i$ 的贡献），然后迭代所有可能的 x。我们还需要迭代我们的点电荷 $q_i$ 和它们的位置 $r_i$​。我们通过在 qtopos.items() 中 for q, pos in qtopos.items() 来做到这一点：此时我们将 pos 解包为 posx 和 posy。

参阅：亚图跨际