高等工程数学--第二篇数值分析考点提炼

 

目录

1.高斯消元法

2.直接三角形分解法（Dolittle分解）

L和U的矩阵的计算方式为

3.Jacobi迭代法（雅克比）

4.Gauss-Seidel(高斯-赛德尔)迭代法

5. Jacobi 和Gauss-Seidel 迭代收敛性

6.拉格朗日插值

抛物线的话：

线性插值两点的话：

两者例题：

7.曲线拟合的最小二乘法

解题步骤：

8.数值微分公式

9.牛顿（Newton）迭代法

解题步骤：

10.欧拉（Euler）方法

解题步骤：

隐式欧拉公式：​

欧拉梯形公式：​

改进的欧拉公式：

参考书目：

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1.高斯消元法

无解：当消元完毕后，发现有一行系数都为 0，但是常数项不为 0，此时无解

多解：当消元完毕后，发现有多行系数、常数项均为 0，此时多解，有几行为全为 0，就有几个自由元，即变量的值可以任取，有无数种情况可以满足给出的方程组

2.直接三角形分解法（Dolittle分解）

原公式为Ax=b

将A分解成A=LU。

L、U分别对应下图：

 

L和U的矩阵的计算方式为

求法顺序为：理解可以为当成求A矩阵。举例：a第一行每个元素（红色那行） = L的第一行×U每一列  （1列对应一个a元素），a第一列每一行元素（蓝色那列） = L的每行 x U的第一列  （每行对应一个a元素）

 

那么对于Ly = b  =>  LUX = b  (A=LU,Ax = b,LUX = b,UX = y) 可通过行列相乘的简单运算得出y.

Ux=y同理

3.Jacobi迭代法（雅克比）

需满足矩阵为非奇异（对角线不为零或是行列式不为零）

推导公式 ：  Ax=b  => (D-L-U)x = b  => Dx = (L+U)x +b  => x = D^-1 (L+U) x +D^-1*b  =>   x = Bx+f

 

计算过程：

即

4.Gauss-Seidel(高斯-赛德尔)迭代法

 

5. Jacobi 和Gauss-Seidel 迭代收敛性

 

迭代格式收敛的必要条件：lim k->无穷 M^k = 0;

方法一：矩阵A所有  特征值的模   的   最大值   称为A的谱半径，记为ρ(A)。

收敛的充要条件是ρ(B)<1

方法二：原矩阵每行非对角元素绝对值和小于对角元素绝对值。

6.拉格朗日插值

 

抛物线的话：

线性插值两点的话：

 

定理：

 

两者例题：

 

7.曲线拟合的最小二乘法

解题步骤：

1.下图为一种，首先看给的数据点大概属于那种函数，例如y = a0+a1x , y = a0+a1/x

2.

3.转化成矩阵形式还是Aa=y

4.得到的矩阵

5.解出a向量矩阵填入第一步假设的函数里

 

例题：

8.数值微分公式

9.牛顿（Newton）迭代法

为了防止发散：

 

解题步骤：

1.列出公式

2.判断收敛性

10.欧拉（Euler）方法

用于取近似值。

解题步骤：

隐式欧拉公式：

欧拉梯形公式：

改进的欧拉公式：

参考书目：

《高等工程数学第三版》 主编： 姚仰新 王福昌 罗家洪 庄楚强

课后答案讲解