面试官：请问计算机如果处理二进制加减运算 并说说补码是什么
前言
计算机中使用二进制表示一个数字，使用科学计数的形式表示浮点数，在Java中使用IEEE 754标准做为二进制浮点数算术标准。IEEE 754规定了四种表示浮点数值的方式：单精确度（32位）、双精确度（64位）、延伸单精确度（43比特以上，很少使用）与延伸双精确度（79比特以上，通常以80位实现）。有符号数的三种表示方式分别为原码、反码、补码。符号位都是用0表示正1表示负，数值位的表示方法各不相同。在计算中数值统一使用补码表示和存储，使用补码的原因在于可以将符号位与数值位统一处理；同时也可以将加法与减法统一处理。
模
在讲二进制补码前先介绍下“模”的概念：“模”是指一个计量系统的计数范围，可以将模比喻成一个水桶，水桶有容量大小，这个容量大小就“模”，超过水桶容量的水会溢出。计算机也可以看成一个计量系统，对于数值也会有位数限制，例如uint32的类型值二进制位数是32，计量范围是 0 ∼ 2 32 − 1 0\sim2^{32}-1 0∼232−1，那模就是 2 32 2^{32} 232，超过模的大小就会出现溢出，溢出的位会被自然舍弃。
下面用一个8位的二进制数来看看计算结果，模为 2 8 2^{8} 28
11111111 + 00000001 = 100000000 \begin{array}{cr} &11111111\\ +&00000001\\ \hline =&100000000 \end{array} +=1111111100000001100000000
二进制 11111111 11111111 11111111置换为十进制数为255，上面的列式用十进制表示为255+1=256，256超过了模 2 8 2^8 28，最后的计算结果为是0，而不是256，因为结果中的高位（第9位）被自然舍弃掉了。
任何有模的计量器均可化减法为加法运算，转换的方法为取反后加1。
假设有一个圆盘，将圆盘等分为12个扇区，这样就是一个模计算器，模=12，将每个扇区顺序标号0~11；10号扇区中有一个小球，需要将小球顺序的移动到8号扇区；方法有两种，第一种是顺时针跳10个扇区到8号扇区即10+10=12+8=8，第二种是逆时针跳两个扇区到8号扇区即10-2=8，即10+10=10-2=10+12-2(mod 12)；在12为模的系统中加10与减2的效果是一样的，因此只要是减2的运算都可以用加10代替，反过来也是一样加10的运算可以用减2代替，在这样的系统中2和10就互补了。那在以12为模的系统中还有其它这样的补数组合吗？有的，例如：11和1，6和6等，只要两个整数加起来等于模就可以互补。
将上面这个模系统应用到计算机中同样也是可行的，在上面8位二进制的计算系统里模是 2 8 2^8 28，同样减法可以转换成加法，加法可以转换成减法，减法转换成加法时只要把减数转换成相对应的补数就行，把这个补数用在计算机中表示就是补码。
补码
求二进制的补码比较简单，只需要将每一个取反就可以得到补码，例如：
11110011 ⇒ 00001100 01010101 ⇒ 10101010 11110011 \Rightarrow 00001100 \\ 01010101 \Rightarrow 10101010 11110011⇒0000110001010101⇒10101010
但数值为有正负的问题，在计算中会使用1个高位来表示符号，0代表正数，1代表负数。在计算来符号的二进制数补码时符号位不参与进来。
正数的补码
与原码的二进制是一样的，例如+7：
00000111
在8位系统中二进制的表示。
负数的补码
负数的补码是将原码中除符号位的其它所有位取反（0变1 ，1变0）后加1 。
例如：-7
原码：10000111 ->除符号位取反（11111000）->加1（00000001）->补码（11111001）
所有-7的补码是11111001.
0的补码
数值0的补码表示是唯一的。
[+0]补码=[+0]反码=[+0]原码=00000000
[-0]补码=[11111111]反码+1=00000000
补码的意义：
- 解决了符号的表示问题
- 可以将减法运算转换为加法运算
- 在计算机中用电子器件实现补码非常容易
- 补码表示统一了符号位和数值位，使得符号位与数值位可以一起参与运算。
二进制加减法运算
加法
二进制加法运算方法，可以使用进位法 ；先将两个十进制数置换成二进制数，再将二进制数右对齐。
进 位 : 100000010 A : 10001001 B : + 10000101 = 100001110 \begin{array}{cr} 进位:&&100000010\\ A:&&10001001\\ B:&+&10000101\\ \hline &=&100001110 \end{array} 进位:A:B:+=1000000101000100110000101100001110
上下对应位置相加，值为0对应结果位为0，值为1对应结果位为1，值为2对应结果位为0并进行进位。
约定右边为第一位，
第一位：A与B都是1，相加值为2进行一次进位，并在结果位上写上0
第二位：A与B都是0，但进位上是1，相加值为1，不需要进位，结果为1
第三位：A为0B为1，结果和第二位相同
第四位：与第三位相同
第五位：A与B都为0，进位上也是0，相加值为0，结果为0
……
最后第八位上和第一位的计算方法一样，进位可以直接写在结果中的第九位。最后结果为100001110。由于出现了溢出(假设使用的是模为 2 8 2^8 28的计算系统)，最终结果将舍弃第九位(00001110)。
减法
二进制加法运算可以使用进位法，相对应的减法也有一个与进位法相对应的运算方法借位法，借位法的运算方法与进位法相反，还是用上面的例子：
借 位 00001100 A : 10110001 B : − 10100101 = 00001100 \begin{array}{cr} 借位&&00001100\\ A:&&10110001\\ B:&-&10100101\\ \hline &=&00001100 \end{array} 借位A:B:−=00001100101100011010010100001100
原理：
- 相同位都是1时，值位为0
- 相同位都是0时，值位为0
- 相同位A为1，B为0时，值位为1
- 相同位A为0，B为1时，向前借位，借位的变化在A上体现，值位为1，被借位A上的值由1变为0
- 借位时如果前两位都是0，第三位是1时，借位将在第三位进行，第三位由1变为0，前两位都变为1后再使用1~4的步骤计算。
二进制减法运算除了使用借位法，还可以将减法转成加法，上面做的模、补码这些知识的铺垫也是为了本篇的主角补全法，补全法的核心思想就是使用补码进行运算。
首先将被减数转换成补码 10100101 → 01011011 10100101 \rightarrow 01011011 10100101→01011011 ，再使用补码做加法运算结果为：
A : 10110001 B : + 10100101 = 101010110 \begin{array}{cr} A:&&10110001\\ B:&+&10100101\\ \hline &=&101010110 \end{array} A:B:+=1011000110100101101010110
模为 2 8 2^8 28的计算系统下需要舍弃一个高位，得到的最后结果为01010110 。
补全法还可以用在十进制的计算模中，假设模=100，计算 56 − 17 = ? 56-17=? 56−17=? ，可以先找到17在模=100中的补数82，再使用$56+82=139$139超过了100，将百位自然舍弃，最后结果为39。
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