毫米波传感器原理介绍：测速

在前文中，我们分析了 IF信号的频率，并展示了该频率与物体到雷达的距离成正比。在本文中，我们将探讨IF 信号的相位。如果我们希望了解 FMCW 雷达响应物体极小位移的能力，那么研究相位就非常重要。雷达正是凭此非常快速且准确地测量物体的速度。这也是在心跳监测和振动检测等应用中使用雷达的基础。
跟上一篇文档一样，我们先把两个公式列出来，包括最大速度以及速度分辨率。
1.相位差与距离差的关系$\Delta \phi =\frac{4\pi \Delta d}{\lambda }$
1.要测量物体速度，两个chirp信号之间的相位变化必须小于$\pi$,则有$v_{max}=\frac{\lambda }{4T_c}$。
2.速度分辨率为$\Delta v>\frac{\lambda }{2N{T}_c}$,其中N为线性脉冲调频数，$T_c$为相邻线性调频脉冲之间的持续时间。则$N{T}_c$为总帧时间。

1.傅里叶变化的相关概念

时域中的正弦波会在频域中产生一个尖峰，该尖峰的位置与正弦波的频率相对应。应了解频域中的信号是包含振幅和相位的复数，这一点很重要。因此，虽然此处的图表示傅里叶变换的振幅，但此处的每个值实际上是一个包含振幅和相位的复数。

信号可以使用复数的形式来进行表示$f(t)=A^{j\theta }$,其中$A$为信号的幅度，$\theta$为信号的相位。还可以将其用以下图形的方式表示为一个相量，该相量是一个矢量，具有与振幅 A 相对应的长度以及与相位 θ相对应的方向。后续我们都已这种只管的方式来表示向量。

傅里叶变换的一条重要性质是，峰值的相位对应于正弦波的初始相位。因此，下图左侧的正弦波以特定的初始相位开始。在右侧对应的傅里叶变换中，该相位反映在此处峰值的相位中。在这里，这是一个正弦波，其频率与上面的正弦波相同，但起始相位与该相位相差 90 度。因此，相应地，傅里叶变换将具有一个峰值，其位置与此处相同，但相位与该前一个峰值相比偏移了90 度。

​到目前我们已经考虑的连续信号的傅里叶变换，这些性质对于离散信号傅里叶变换也同时是成立的，我们假设这里有一个离散的信号如下图左边所示，此向量以每一个样本ω弧度的恒定速率旋转，这样一来，在任意两个样本之间，此相量都旋转了 ω 弧度。这时，我们会用到“离散角频率”这个术语，或者有时仅使用“频率”来指代这个 ω。

如果在雷达前方存在两个峰值，其离散的信号的相图如下图左所示，对应的频谱图如下图右所示。

那么这里的问题就是，其对应的${\omega }_1$和${\omega }_2$两个频率要相隔多远才能在傅里叶变换中显示为单独的峰值，在下图，有两个不一样的蓝色和红色在经过N个采样后，比多走了半个周期的弧度，通过FFT变换的结果发现无法将和两个频率给分离出来。

如果我们将观测的时间段拉长，采集的N为原来的两倍，现在我们就有2N个样本，而不是之前的N个样本，这样和${\omega }_1$相比${\omega }_2$旋转了一个完整的周期。这样可以明显的看到通过FFT变换后可以分辨出两个不同的频率。

所以，这里的重点是，序列长度越长，分辨率就越高。一般来说，长度为 N 的序列,可以分隔被大于每个样本 2π/N 弧度分隔的角频率。
我们花一点时间来比较一下离散和连续分段对的分辨标准如下图：

这两个公式分别是计算距离分辨率和速度分辨率重要的条件。

2.IF信号在微小位移下的相位变化

在前文中，我们使用 f-t 图来分析 IF信号的频率与到物体的距离之间的关系。在本文中，我们将使用A-t 图来分析IF 信号的相位。这里顶部的图显示了TX 线性调频脉冲的 A-t 图。中间的图是 RX线性调频脉冲，它是 TX 线性调频脉冲的延迟版本，延迟量为 $\tau$，$\tau$ 是往返延迟。正如我们先前了解到的，对于单个物体，IF信号将是一个具有恒定频率的信号，换句话说，单个正弦波。那么，从数学的角度而言，我可以将该 IF 信号表示为$Asin(2\pi ft+{\phi }_0)$，其中频率 $f$由 $S2d/c$ 给出，$S$ 是斜率，$d$ 是到物体的距离，$c$ 是光速。相位 $\phi 0$正是 IF信号在该点c 的相位。

现在如果假设存在一个微小的位移，雷达的信号相位会发生什么样的变换了? 如下图所示，当雷达发生一个微小的变化$\Delta d$时，由于雷达的距离发生了变化，所以雷达的往返时间也会随着发生变化$\Delta \tau$，即接受信号的初始相位将从B点变换到E点，IF信号初始相位将会从C点变换到F点。当变换$\Delta \tau$，发送的chirp信号从A到B将会产生一个$\Delta \phi =2\pi f_c\Delta \tau$的相位偏移，这个偏移会直接的反映在IF信号的初始相位上，由之前的知识可以得到$\Delta \tau =\frac{2d}{c}$，又因为波长$\lambda =c/f_c$,所以$\Delta \phi =2\pi f_c\Delta \tau =\frac{4\pi \Delta d}{\lambda }$,至此，我们得到了关于$\Delta \phi$与$\Delta d$之间的关系。

3.微动物体下的相位计算

现在我们对中频信号进行分析，中频信号可以写成$Asin(2\pi ft+{\phi }_0)$，其中中频信号的频率 $f=\frac{S2d}{c}$与物体距离雷达的距离呈线性关系，$\Delta \phi =\frac{4\pi \Delta d}{\lambda }$公式又告诉我们相位的变化与$\Delta d$也是呈线性关系的。那我们在什么情况用相位来分析$\Delta d$呢？答案是相对雷达分辨率物体产生了微小的位移（大约为若干毫米）时。在这里我们假设微小的距离变化为 1mm，而雷达发送的chirp信号如下图所示。那中频的信号频率和相位变化是如何的了？

由上图可知，S=50MH/μs ,$T_c=40\mu s$,一毫米的距离变化对应的中频信号变化$\Delta f=\frac{S2d}{c}=333Hz$，而在观测窗口$T_c$中，$\Delta f\ast T_c$=0.013周期，根据傅里叶变换的性质得知该频率差在频谱上是无法分辨的。中频信号的频率变化已知雷达工作在77GHz，则一毫米相当于$\frac{\lambda }{4}$，所以中频信号的相位变化是$\Delta \phi =\frac{4\pi \Delta d}{\lambda }=\pi$
这里，我们有一个重要的结论：IF 信号的相位对物体距离的微小变化非常敏感。但频率不是这样，正如我们分析的，频率对此类微小的变化非常不敏感。

4.测量目标速度的基本思想

假设在雷达前方存在一个微动的物体，这时我们发送两个chirp信号，chirp信号之间的间隔为$T_c$,然后分别对两个chirp产生的中频信号进行FFT变换，过程如下图所示。根据上一节的分析可以得知，频谱图将在相同的位置具有峰值，但是具有不同的相位，这两个峰值的相位之间的测量相位差为ω 将于物体的运动直接对应。请注意，如果物体的速度为 v，则该物体在此时间段$T_c$ 内的移动距离将为 $\Delta d=v\ast T_c$。再根据上边公式$\Delta \phi =\frac{4\pi \Delta d}{\lambda }$，代入可得$v=\frac{\lambda \phi }{4\pi T_c}$,所以，我们可以用两个两个chirp的中频信号相位差来估算速度。
测量目标速度的基本思想就是使用两个chirp信号的峰值的相位差来估算单个物体的速度。

但是如果有多个物体与雷达的距离相同，情况会怎么样？在这里的示例中，雷达前方有两个物体，它们与雷达的距离相同，但速度不同，相对于雷达的速度分别为 V1 和 V2。我们之前讨论过，与要发射的这两个线性调频脉冲相对应的距离 FFT 中只有一个峰值，但峰值处的相量将具有来自这两个物体的分量。这样一来，我们之前所说的简单相位比较方法就不再适用了，因为此处的相位具有来自这两个物体的速度分量。那么，该如何解决呢？
一种解决方案是发射一系列等间隔的线性调频脉冲，而不仅仅是两个线性调频脉冲。假设这里有 N 个等间隔的线性调频脉冲，那么根据我们之前的讨论，与其中的每个线性调频脉冲相对应的距离 FFT 将在完全相同的位置具有峰值。但是，与这些峰值的相量相对应的离散序列将有两个旋转相量，分别以频率ω1 和 ω2 旋转，对应于两个速度V1 和 V2。因此，这个离散序列上的 FFT将显示两个峰值，分别对应于 ω1 和 ω2频率的离散角。测量出ω1 和 ω2 后，我们就可以利用前面介绍的这些表达式反算出速度。在进行下一步之前，我们先来解释几个术语。这里的 FFT 是在线性调频脉冲之间执行的，在文献中通常称为多普勒 FFT。这个对其执行多普勒 FFT 的等间隔线性调频脉冲序列称为帧。因此，FMCW 雷达的基本传输单位实际上是帧。

5.最大速度与速度分辨率

由于速度的测量依赖于相位差的，只要当差值介于正负180度之间时，才能清楚的测量此值。例如下图，当物体是远离雷达时可以可视化逆时针运动的相量，对于靠近雷达速度可以可视化顺时针的相量，而当相量超过180度，则会产生模糊，就会不明白究竟是物体是远离雷达还是靠近。所以要清楚的测量速度，两个chirp信号之间的相位变化必须小于$\pi$,这就说明了$\frac{4\pi v{T}_c}{\lambda }<\pi$ =>$v<\frac{\lambda }{4T_c}$,则$v_{max}=\frac{\lambda }{4T_c}$,因此要测量很快的速度，则chirp信号就需要很密集。

速度分辨率由相位差的定义以及离散FFT特性决定的，其运算的过程如下图：

6.微动物体下的应用

除速度测量之外，IF 信号的相位对微小移动非常敏感的事实也是有趣应用的基础，这些应用包括电机振动监测、心跳监测等。
这里的图描述了以振荡方式移动的物体随时间演变的过程。那么，此物体从该位置开始，向左偏移一点，然后返回，再向右偏移一点，依此类推。这可以表示一个正在振荡的物体。在这里，我们假设这些移动非常微小，因此物体的最大位移 Δd是波长的一小部分，例如一毫米或更短。现在，如果我们将一个雷达放置在该振荡的物体前方并发射一系列等间隔的线性调频脉冲，会怎么样？

您知道，由于从该物体上进行反射，因此其中的每个 TX 线性调频脉冲会产生一个反射线性调频脉冲，并且经处理的 IF 信号会在距离 FFT 中产生一个峰值。现在，该峰值的频率不会在线性调频脉冲之间改变太多，因为Δd 非常小。但峰值的相位将会响应该物体的振荡移动。上图右侧显示的就是相关情况。那么，相位以特定的值开始，并将物体的移动镜像至左侧。当物体返回时，相位返回到其初始值，然后偏移到另一侧。如果我们按时间顺序绘制测量的峰值相位，如下图所示。

最大相位偏移Δφ 与最大位移 Δd 相关，由这图我们可以获得很多信息，包括目标的震振幅和周期。所以，我们又能获得一个很重要的结论：距离FFT 峰值相位随时间的演变可用于估算振动的振幅和周期。