严正安
严正安

硅和锗的能带结构

在半导体当中对半导体性质有贡献的电子

1.导带底的E~K关系是重要的决定了半导体的性质，又叫导带结构，这个是重要的

2.价带中跃迁之后的大量电子，已经用空穴来等效描述了，价带顶的E~K关系也很重要，称作价带结构

3.禁带宽度也很重要

这三者合起来，称为能带结构

一，硅和锗的导带结构

对于n-Si的回旋共振实验，n-Si是掺有施主杂质，以电子导电为主，所谓的施主就是五族元素，如果施主掺杂到半导体中以后，就会替代格点中的Si的原子，现在掺杂五族元素，五族元素最外层有五个价电子，还多了一个电子，就自由了（但并不是绝对自由，被原子核束缚住，不过相对于共价键上的电子挣脱共价键束缚所需要的能量是禁带宽度，这种库仑力比起共价键要弱很多，弱两个数量级）多余的电子可以挣脱束缚，称为所谓的自由电子（满足一般温度的情况下，每掺杂一个施主，就会多一个导带电子）因为乘积是常数，所以牺牲了部分的空穴，我们要知道导带底的用n型半导体

对于n型硅的实验

1.当磁感应强度B沿着<111>方向，实验可以观察到一个吸收峰

2.沿着<100>方向，实验可以观察到两个吸收峰

3.沿着<110>方向，实验当中可以观察到两个吸收峰

4.沿着任意方向的时候，实验中总是可以观察到3个吸收峰

显然说明导带底不是球形等能面，就能给出模型，就得到硅的导带底的E~K关系是下面的说法

是长轴沿着<100>方向的六个旋转椭球等能面，旋转椭球的中心（导带极小值点）位于第一布里渊区中心至边界的0.85倍处，这就是硅的导带底结构

我们以长轴位于[001]方向的旋转椭球为例，我们说为了方便一些，我们另外再建一个坐标系

k_1,k_2,k_3，把原点取在旋转椭球的中心，旋转椭球等能面的E~K关系，E=\frac{h^2}{2}[\frac{k_1^2}{m_{k1}}+\frac{k_2^2}{m_{k2}}+\frac{k_3^2}{m_{k3}}],因为把原点去在了极小值点这样的话，其中m_{k1}=m_{k2}=m_t,m_{k3}=m_l，我们就得到了E=\frac{1}{h^2}[\frac{k_1^2+k_2^2}{m_t}+\frac{k_3^2}{m_l}],我们要加磁感应强度B，K1和K2组成的曲面可以旋转，令K1，K2构成的平面，绕着K3轴旋转，转到刚好磁感应强度B恰好位于k_1,k_2所构成的平面内，且\vec B与k_3轴的夹角为\theta,这样一来以后，前面定义过方向余弦，这样子啊新的坐标系下，\alpha=sin(\theta),\beta=0,\gamma=cos(\theta)，我们把这样的方向余弦，带回到有效质量的表达式当中

\frac{1}{m_n^*}=\sqrt\frac{m_x^*\alpha^2+m_y^*\beta^2+m_z^*\gamma^2}{m_x^*m_y^*m_z^*}=\sqrt \frac{m_tsin(\theta)^2+m_lcos(\theta)^2}{m_t^2m_l}

那么有了这样的简化形式以后，我们就可以讨论为什么沿着吸收峰的方向个数回不一样了

画上四个正立方体，然后我们把方向标上

1.当B沿着[111]方向的时候，B与[100][010][001]的夹角,arctg(\theta)=\sqrt 2,这是磁感应强度和晶轴的夹角

\vec B与[\overline 100][0\overline10][00\overline1]夹角\pi - \theta，所以cos^2(\theta)=\frac {1}{3},sin^2(\theta)=\frac {2}{3},

所以\frac {1}{m_n^*}=\frac {1}{m_t} \sqrt \frac{2m_t+m_l}{3m_l}，这样一种有效质量对应了一个吸收峰

2.当 B沿着[100]方向的话，这个时候\vec B与[100][\overline100]夹角为0或\pi，所以sin^2(\theta)=0,cos^2(\theta)=1

所以\frac {1}{m_n^*}=\frac{1}{m_t} 对应了一个吸收峰

B与[010][0\overline10][001][00\overline1]夹角\frac{\pi}{2},所以sin^2(\theta)=1,cos^2(\theta)=0

所以\frac{1}{m_n^*}=\frac{1}{\sqrt {m_tm_l}}，对应了一个吸收峰

这两个合起来，刚好与实验观察的一致，对应了两种不同的有效质量

3.当B沿着[110]方向的时候，这个时候

B与[100][010][\overline100][0\overline10]夹角为\frac{\pi}{4}或\frac{3\pi}{4},对应了sin^2(\theta)=cos^2(\theta)=\frac{1}{2}

所以\frac {1}{m_n^*}=\frac {1}{m_t} \sqrt \frac{m_t+m_l}{2m_l}

B与[001][00\overline1]夹角\frac{\pi}{2},sin^2(\theta)=1,cos^2(\theta)=0

所以\frac{1}{m_n^*}=\frac{1}{\sqrt {m_tm_l}}也对应了一个峰

这两个合起来就是两个

4.磁感应强度沿着任意一个方向 总有三个峰

下面来讨论一下Ge的导带结构

Ge的导带结构，长轴沿着<111>空间对角线方向上的八个半个旋转椭球等能面，旋转椭球的中心（导带极小值点，恰好位于第一布里渊区的边界上）

二，硅和锗的价带结构

1. 用P型样品来做回旋共振实验，光有实验显然还不行，我们用P型样品的回旋共振实验加上理论计算

因为和导带的方式是一样的，所以我们直接给结论

1. 价带结构是复杂的

2. 价带顶E_v位于k=0处

3.价带是简并的，对于价带顶的同意能量E有不同的K值去对应它，E~K关系不止一个，有效质量不止一种，对同一个能量有不同的k_x,k_y,k_z

考虑自旋的话，是六度简并的，一支是四度简并，另一支是二度简并的

对硅和锗四度简并的这一支

E(K)=-\frac{h^2}{2m_{0}} \left\{ AK^2\pm[B^2k^2+c^2(k_x^2k_y^2+k_y^2k_z^2+k_z^2k_x^2)] \right\},A>0

是这样的E~K关系，首先确实是四度简并的

两个情况的允带宽度不一样，取负号的情况，能带比较窄，有效质量大，这样的空穴的E~K关系，对应的有效质量称为重空穴,记作m_{ph}^*

取正号的情况，有效质量小，称为轻空穴

对Si，Ge的二度简并这一支，它的E~K关系,E(K)=-\Delta-A\frac{h^2}{2m_0}k^2

\Delta称为裂距，自旋轨道耦合分裂的能量，对于确定的材料有确定的值

对于Si来说是0.04 ev

由于裂距的存在，空穴不常在第三个带出现，他给出了空穴的第三种有效质量,记作m_{p3}

Si和Ge的价带结构的区别：

表达式的形式一样，但是系数不一样

这样看起来，好像Si和Ge的区别不大，但是导带结构的差距很大

三，禁带宽度 E_g

Si的禁带宽度 E_g Si=1.12ev

E_g Ge=0.67 ev

并且禁带宽度具有负的温度系数

温度越高，价带顶越多的电子可以跃迁到导带底

随着温度升高，禁带宽度是变窄的

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