深度学习与智能故障诊断学习笔记（三）——RNN与LSTM推导详解

1.RNN

1.1网络结构

标准神经网络的输入输出在不同例子中可能有不同的长度，在学习中并不共享从不同位置上学到的特征。因为标准神经网络的训练集是稳定的，即所有的特征域表达的内容是同一性质的，一旦交换位置，就需要重新学习。故障诊断和健康管理属于带有时间序列的任务场景，在进行学习时参数量巨大，标准神经网络无法体现出时序上的前因后果，所以引入循环神经网络。如图所示为RNN循环神经网络的单元。

其中为当前输入，为前一个状态，b为偏置项，tanh为激活函数，用于学习非线性部分。当前输入和前一个状态分别乘以对应权重并相加，在加上偏置项，乘激活函数得到当前状态，此状态在下一个神经元学习时又作为进行运算，由此实现时序关联。输出的激活函数根据任务类型来选择，若是多分类可以选择softmax，若二分类则可直接选择sigmod。

（注：输出并非每个神经元都必须有，RNN可以是多输入多输出，也可以是多输入单输出，仅在学习完成后输出）

1.2RNN网络特点

 RNN网络为串联结构，可以体现出“前因后果”，后面结果的生成要参考前面的信息，且所有特征共享一套参数。这使得RNN在面对不同的输入（两个方面），可以学习到不同的相应结果，并极大的减少了训练参数量。

（RNN输入和输出数据在不同场景中可以有不同的长度）

1.3损失函数

单个时间步的损失函数可根据多分类和二分类进行自定义

整个序列的损失函数是将所有单步损失函数相加，如式。

 1.4传播过程

前向传播如图一所示。

反向传播

 （图源自吴恩达老师课件）

求解梯度即复合函数求导，按照链式法则进行求导。

反向传播具体过程需要按照损失函数来具体求解，但上式对所有RNN模型都适用。

 1.5缺点

当序列太长时，容易产生梯度消失，参数更新只能捕捉到局部以来关系，没法再捕捉序列之间长期的关联或依赖关系。

如图为RNN连接，输入x，输出o（简单线性输出），权重w，s为生成状态。

 根据前向传播可得：

假设使用平方误差作为损失函数，对单个时间点进行求梯度，假设再t=3时刻，损失函数为L3 = 。然后根据网络参数Wx，Ws，Wo，b1，b2等求梯度。

Wo:

 Wx（具体求解过程在下边）:

 经整理可得：

 具体求解过程：

首先，所求目标为L3对Wx的偏导，通过链式法则进行展开。对比前向传播公式图可知，O3中并不能直接对Wx求偏导，而是包含在S3中，所以要展开成如下形式。

但在S3中又包含S2，S2中包含Wx和S1，S1中又包含Wx，嵌套了很多层，为了方便表示，我们用3来表示S3括号中的内容。进一步简化可得：

 由S3演变为S2，同理可递推求出和

再将所求出结果回代到公式中，可以得出 

再回带至 

 由该式可以看出，梯度的更新同时依赖于x3，x2,x1包括其梯度值。将该式处理为

此为t=3时刻的梯度公式，推广至任意时刻的梯度公式为：

此式括号中的项为求导的连乘，此处求出的导数是介于0-1之间的，有一定的机率导致梯度消失（但非主要原因）。造成梯度消失和梯度爆炸的主要原因是最后一项：当Ws很小的时候，它的k-1的次方会无限接近于0，而当Ws大于1时，它的k-1次方会很大。

如下为t=20时梯度更新计算的结果：

从式中可以看出，t=3的节点由于连乘过多导致梯度消失，无法将信息传给t=20，因此t=20的更新无法引入t=3时的信息，认为t=20节点跟t=3的节点无关联。 

对于梯度爆炸和梯度消失，可以通过梯度修剪来解决。相对于梯度爆炸，梯度消失更难解决。而LSTM很好的解决了这些问题。

2.LSTM

 2.1设计思路

RNN是想把所有信息都记住，不管是有用的信息还是没用的信息。而LSTM设计了一个记忆细胞，具备选择性记忆功能，可以选择记忆重要信息，过滤掉噪声信息，减轻记忆负担。

2.2整体结构

如图为LSTM与RNN结构对比

 LSTM

 RNN

2.3单元结构

在LSTM每个时间步中，都有一个记忆细胞，这个东西给予了LSTM选择记忆功能，使得LSTM有能力自由选择每个时间步里面记忆的内容。

下图中Ct-1为上一个记忆细胞，ht-1为上一个时间点的状态，经过该单元，输出一个新的记忆细胞和一个新的状态。在单元中有三个，被称为门单元，它的输出值介于0-1之间。ft为遗忘门，it为更新门，Ot为输出门。

门是一种选择性地让信息通过的方法。它们由sigmoid神经网络层和逐点乘法运算组成。Sigmoid层输出0到1之间的数字，描述每个组件应允许通过多少。值为零表示“不让任何内容通过”，而值为 1 表示“允许所有信息通过”

 

公式所示为前向传播，Ct与Ct-1，ht-1，xt等参数都有关，其中Wxf，Whf，Wxi分别代表相应权重。在单元结构图中可以看出ft与Ct-1进行×运算（对应元素相乘），gt与it进行×运算，两者相加为新生成的ct。

2.4 缓解梯度爆炸和梯度消失

此过程为公式推导（以求Wxf为例）。

 

通过调节Whf，Whi，Whg的值，可以灵活控制Ct对Ct-1的偏导值，当要从n时刻长期记忆某个东西到m时刻时，该路径上的

 从而大大缓解了梯度消失和梯度爆炸。

（B站搜索老弓的学习日记，本篇博客为RNN与LSTM的学习笔记）