一个关于数列递推的证明

小红书看到一个数列公式的递推证明，很有趣。这个题目如下：

$$\sum _{k=0}^n\sum _{r=0}^k\frac{(-1{)}^r}{r!(n-k)!}=1$$

证明思路1

构造函数，求导解微分方程，分部积分得出。

证明:

构造
$$F(x)=\sum _{k=0}^n\sum _{r=0}^k\frac{(x{)}^r}{r!(n-k)!}\text{\hspace{1em}(1)}$$

求导
$$\begin{array}{rl}{F}^{\prime }(x)=& \sum _{k=0}^n\sum _{r=0}^k\frac{(x{)}^{r-1}}{(r-1)!(n-k)!}\\ =& \sum _{k=0}^n\frac{1}{(n-k)!}\left[\sum _{r=0}^k\frac{(x{)}^r}{(r)!}-\frac{x^k}{k!}\right]\\ =& F(x)-\frac{1}{n!}\sum _{k=0}^n{C}_n^k{x}^k\\ =& F(x)-\frac{1}{n!}(1+x{)}^n\end{array}$$

解这个微分方程：
$$F(x)=e^x\left(-\int \frac{(1+x{)}^n}{n!}{e}^{-x}dx+C\right)$$

令
$$g(x)=\int \frac{(1+x{)}^n}{n!}{e}^{-x}dx$$
分布积分可以求出：
$$g(x)=\sum _{k=0}^n\frac{(1+x{)}^k}{k!}{e}^{-x}$$

则：
$$F(x)=e^x(\sum _{k=0}^n\frac{(1+x{)}^k}{k!}{e}^{-x}+C)\text{\hspace{1em}(2)}$$

根据表达式 (1)，可以得出
$$F(0)=\sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}$$

代入 (2) 式可以得出 $C=0$（注意 $0^0=1$）。则

$$F(x)=\sum _{k=0}^n\frac{(1+x{)}^k}{k!}$$

当 $x=-1$时，带入可以求出 $F(-1)=1$。

证明思路2

利用泰勒公式的积分余项（估计想到这一点的都学过高等代数），

在 $x=a$ 处的泰勒展开的余项为：
$$R_n(x)=\frac{1}{n!}{\int }_a^x(x-t{)}^n{f}^{n+1}(t)dt$$

对 $e^x$ 和 $e^{-x}$ 分别使用泰勒公式，然后凑出来等式。

这道题参考小红书博主：@sanic, @数学家的下午茶，@清华紫光校长