<幼儿园数学>数列递推<一>

发现自己还是背不熟等比数列求和公式2333

---

幼儿园小班数学：
等差数列：
对于数列 A={a1,a2,a3,...,an}，∀i>1,ai=ai−1+k
则称A为等差数列。
那么我们知道等差数列的第n项的值： an=k(n−1)+a1
等差数列前n项的和：

∑i=1n=ai=n⋅(a1+an)2

证明：
我们可以把等差数列分组，把 ai和an−i+1 归为一组，我们发现每组的和都相等。
显然，我们能分出n/2组。
证明完毕。

---

幼儿园中班数学：
等比数列：
对于数列 A=a1,a2,a3,...,an，∀i>1,ai=k⋅ai−1
则称A为等比数列。

an=a1⋅kn−1

∑i=1nai=a1(1−qn)1−q

证明：
设Sn=∑ni=1ai。

qSn=∑i=2n+1ai

qSn−Sn=∑i=2n+1ai−∑i=1nai=an+1−a1

Sn=a1(1−qn)1−q

---

幼儿园大班数学：
一阶线性递推数列：
对于数列 A=a1,a2,a3,...,an，∀i>1,ai=c⋅ai−1+d(c≠1,0,d≠0)
则称A为一阶线性递推数列。
那么 an=cn−1(a1+dc−1)−dc−1
证明：
把 an−1 和 d 独立。
考虑第i项给第n项做的加的d的贡献，那么则可以发现：
第i项的d被乘了n - i次c。
所以我们可以知道：

an=cn−1a1+∑i=1ncn−id

会发现后一项可以用等比数列求和来解决。
所以我们最后的公式就是

an=cn−1(a1+dc−1)−dc−1

整个问题完美地解决了。

---

现在该学习其他的数列递推了QAQ
然而我还是不会证明为什么特征根方程可以求通项公式。
所以幼儿园数学告一段落。继续写基础数论总结去QAQ