Gilbert Strang的线性代数课程笔记-第八课

第八课的主题为：矩阵的秩(r)与矩阵的解之间的关系

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解的组成

完整的解由特解和零解两部分组成

Xc = Xp + Xn

1. 特解Xp：即求解Ax = b，设所有自由变量为0，解支点变量的值
2. 零解Xn：即求解Ax = 0（求零空间）

秩与解的关系

假设有m行n列的矩阵A，且有方程Ax = b

（关于矩阵的行最简化阶梯形态R，见上一课）

已知矩阵的秩r ≤ m且r ≤ n

1. 当r = m = n时，方程有唯一解。且R = I
2. 当r = n < m 时，方程有唯一解或无解。且 
3. 当r = m < n 时，方程有无穷解。且
4. 当r < m且r < n时，方程无解或有无穷解。且

（关于矩阵的[行最简化阶梯形态R]，见上一课）

结合例子分别说明：

1. 当r = m = n时，矩阵为满秩的方阵，例如：

可验证矩阵的秩r = m = n：将其化成行阶梯形

可见r = 2 = m = n且支点为A11，A22

再将其化成最简化阶梯型

求解Ax = b时：

可知原式有唯一解：

2. 当r = n < m时，矩阵化解后大致长这样：

可以发现这种情况下无自由变量，因而Ax = 0的解只有零向量，即Xn = 0

且此处Ax = b的解取决于矩阵的行最简化阶梯形态下b4’的值

若b4’ = 0，则第四行0 = 0，等式成立，原式有唯一解

若b4’ ≠ 0，则第四行0 = b4’，等式不成立，原式无解

举一个相对简洁的例子，例如：

可验证矩阵的秩r = n < m：将其化成行阶梯形

可见r = 2 = n < m且支点为A11，A22

再将其化成最简化阶梯型

求解Ax = b时：

可知 

当 时方程有唯一解 

当 时方程无解

3. 当r = m < n时，矩阵化解后大致长这样：

可以发现由于自由变量的存在，原式有无穷解

举一个相对简洁的例子，例如：

可验证矩阵的秩r = m < n：将其化成行阶梯形

可见r = 2 = m < n且支点为A11，A22

再将其化成最简化阶梯型

求解Ax = b时：

可知当自由变量x3=0时，可求得方程特解Xp

当求零空间Ax = 0时

方程的解为无限解

4. 当r < m且r < n时，矩阵化解后大致长这样：

可以发现由于自由变量的存在，原式可以有无穷解

同时，若原式在化解后满足b4’ = 0，则原式确实有无穷解

若原式在化解后b4’ ≠ 0，则原式无解

（本情况是前文两种情况的组合，故不特意举例说明了）