三维装箱模型
航空集装器装箱优化模型
1.问题描述
设要求把n种数量有限的货物装入m种类型的集装器中各类型集装器若干，集装器的最大载重量和容积分别位M、V，第i种货物的数量、三维尺寸和重量分别为 n i n_{i} ni、 l i × w i × h i l_{i} \times w_{i} \times h_{i} li×wi×hi、 m i m_{i} mi求在满足一定现实约束的条件下，尽可能实现使用集装器的占地面积小。同时考虑以下5种约束条件。
（1）体积约束：单个集装器装载货物的总体积不得大于集装器的最大装载体积。
（2）方向约束：在装载种，货物的摆放方向受约束，例如有些货物的包装标有向上的箭头、有些货物只能水平放置等。一般货物装载时的方向约束可归纳为三种约束，即任意旋转、水平旋转、不能旋转。
（3）承载能力约束：在装载过程中，货物的承载能力由货物本身的性质和包装盒的结构决定，货物码放时要做到重不压轻，大不压小。
（4）稳定性约束：以免货物相互间磕碰引起损坏，为确保货物在集装器内不能随意窜动，需要用包装带捆束以固定货物或用泡沫塑料填充空余空间。另外货物装载应该使重心位于允许的范围内而确保货物整体稳定以有利于机械装卸和运输作业。
（5）货物的配置位置：货物的种类千差万别，货物不能任意摆放，有的货物不能摆放在其它货物之上。比如托盘必须放在最下面，不能放在散货的上面。
在模型建立中，考虑以集装器左后下位置为坐标原点，建立坐标系如上图所示。
2. 模型假设
-
货物形状均为长方体，不考虑不规则货物；
-
货物的放置只能横平竖直，不考虑不规则放置；
-
货物在最大承重范围内可接受多层装载；
-
货物重心为其几何中心；
3. 符号释义
| 符号 | 释义 |
|---|---|
| J = { 1 , 2 ⋯ ⋯ , m } \ J = \{ 1,2\cdots\cdots,m\} J={1,2⋯⋯,m} | 集装器集合 |
| N = { 1 , 2 ⋯ ⋯ , n } N = \{ 1,2\cdots\cdots,n\} N={1,2⋯⋯,n} | 货物集合 |
| L j L_{j} Lj、 W j W_{j} Wj、 H j H_{j} Hj、 V j V_{j} Vj、 M j M_{j} Mj、 S j S_{j} Sj | 集装器 j j j的长、宽、高、体积上限、承载能力，占地面积 |
| [ conx 1 j , conx 2 j ] \left\lbrack \text{conx}_{1j},\text{conx}_{2j} \right\rbrack [conx1j,conx2j], [ cony 1 j , cony 2 j ] \left\lbrack \text{cony}_{1j},\text{cony}_{2j} \right\rbrack [cony1j,cony2j], [ conz 1 j , conz 2 j ] \left\lbrack \text{conz}_{1j},\text{conz}_{2j} \right\rbrack [conz1j,conz2j] | 集装器j装载货物后的重心安全区间 |
| l i l_{i} li、 w i w_{i} wi、 h i h_{i} hi、 m i m_{i} mi | 货物 i i i 的长、宽、高、质量 |
| BL i \text{BL}_{i} BLi | 货物 i i i 的承载能力 |
| ( x i , y i , z i ) \left( x_{i},y_{i},z_{i} \right) (xi,yi,zi) | 货物 i i i 在集装器中的左后下角坐标 |
| ( x i ′ , y i ′ , z i ′ ) \left( x_{i}^{'},y_{i}^{'},z_{i}^{'} \right) (xi′,yi′,zi′) | 货物 i i i 在集装器中的右前上角坐标 |
| [ gx i , gy i , gz i ] \left\lbrack \text{gx}_{i},\text{gy}_{i},\text{gz}_{i} \right\rbrack [gxi,gyi,gzi] | 货物 i i i 的重心坐标 |
| p ij p_{\text{ij}} pij | 0-1变量；若货物 i 放在集装器j，则 p ij = 1 p_{\text{ij}} = 1 pij=1；反之， p ij = 0 p_{\text{ij}} = 0 pij=0 |
| μ j \mu_{j} μj | 0-1变量；若集装器j有被使用，则 μ j = 1 \mu_{j} = 1 μj=1；反之， μ j = 0 \mu_{j} = 0 μj=0 |
| r i a b r_{iab} riab | 0-1变量；若货物 i 的b边与a轴平行，则 r iab = 1 r_{\text{iab}} = 1 riab=1，反之， r iab = 0 r_{\text{iab}} = 0 riab=0； a ∈ { x : = 1 , y : = 2 , z : = 3 } a \in \left\{ x: = 1,y: = 2,z: = 3 \right\} a∈{x:=1,y:=2,z:=3}, b ∈ { l : = 1 , w : = 2 , h : = 3 } b \in \left\{ l: = 1,w: = 2,h: = 3 \right\} b∈{l:=1,w:=2,h:=3} |
| r iab + r_{\text{iab}}^{+} riab+ | 0-1变量；若货物 i的b边可以与a轴平行，则 r iab + = 1 r_{\text{iab}}^{+} = 1 riab+=1，反之， r iab + = 0 r_{\text{iab}}^{+} = 0 riab+=0 |
| x ik p x_{\text{ik}}^{p} xikp | 0-1变量；若货物 i 在货物 k的右侧，则 x ik p = 1 x_{\text{ik}}^{p} = 1 xikp=1, x k ′ ≤ x i x_{k}^{'} \leq x_{i} xk′≤xi，反之， x ik p = 0 , x i < x k ′ x_{\text{ik}}^{p} = 0,{x_{i} < x}_{k}^{'} xikp=0,xi<xk′ |
| y ik p y_{\text{ik}}^{p} yikp | 0-1变量；若货物 i 在货物 k的后面，则 y ik p = 1 y_{\text{ik}}^{p} = 1 yikp=1, y k ′ ≤ y i y_{k}^{'} \leq y_{i} yk′≤yi，反之， y ik p = 0 , y i < y k ′ y_{\text{ik}}^{p} = 0,{y_{i} < y}_{k}^{'} yikp=0,yi<yk′ |
| z ik p z_{\text{ik}}^{p} zikp | 0-1变量；若货物 i 在货物 k的上面，则 x ik p = 1 x_{\text{ik}}^{p} = 1 xikp=1, z k ′ ≤ z i z_{k}^{'} \leq z_{i} zk′≤zi，反之， z ik p = 0 , z i < z k ′ z_{\text{ik}}^{p} = 0,\ {z_{i} < z}_{k}^{'} zikp=0, zi<zk′ |
4. 模型构建
目标函数：最小化所需集装器占用面积。同样的货物所需集装器的占用面积越小，那么飞机剩余空间中能够集装器的面积就越大，其能够装载的货物就越大，运输能力越强。
m i n ∑ j ∈ J μ j S j min \sum_{j\in J} \mu_jS_j minj∈J∑μjSj
约束（1）总承载能力约束，每一个集装器装载的货物的总重量需要在集装器的最大载重之内，并且对任一货物i有 m i ≤ m a x { M j } m_{i} \leq max\{ M_{j}\} mi≤max{Mj}，以保证每一个货物都有集装器可提供转载，约束如下：
∑ i ∈ N m i p ij ≤ M j μ j ∀ j \sum_{i \in N}m_{i}p_{\text{ij}} \leq M_{j}\mu_{j} \quad \forall j i∈N∑mipij≤Mjμj∀j
约束（2）体积约束，每一个集装器装载的货物的总体积需要在集装器的覆盖体积之内，并且对任一货物i有 l i w i h i ≤ max { V j } l_{i}w_{i}h_{i} \leq \max\{ V_{j}\} liwihi≤max{Vj}，以保证每一个货物都有集装器可提供转载，约束如下：
∑ i ∈ N l i w i h i p ij ≤ V j μ j ∀ j \sum_{i \in N}l_{i}w_{i}h_{i}p_{\text{ij}} \leq V_{j}\mu_{j} \quad \forall j i∈N∑liwihipij≤Vjμj∀j
约束（3）确保每个货物都被堆放到集装器上，客户的需求需要被充分满足，把货物堆放到集装器上是运输的前提条件，其约束如下：
∑ j ∈ J p i j = 1 ∀ i \sum_{j \in J} p_{ij} = 1 \quad \forall i j∈J∑pij=1∀i
约束（4）货物完全在所在集装器的覆盖空间中，这意味以货物所在集装器做空间直接坐标系，货物各个顶点的坐标均需要在该直角坐标系中。
{ x i ′ ≤ ∑ j ∈ J L j p i j ∀ i y i ′ ≤ ∑ j ∈ J W j p i j ∀ i z i ′ ≤ ∑ j ∈ J H j p i j ∀ i \begin{cases} x_{i}^{'} \le \sum\limits_{j\in J}L_{j}p_{ij}&\quad&\forall i \\ y_{i}^{'} \le \sum\limits_{j\in J}W_{j}p_{ij}&\quad&\forall i \\ z_{i}^{'} \le \sum\limits_{j\in J}H_{j}p_{ij}&\quad&\forall i \\ \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧xi′≤j∈J∑Ljpijyi′≤j∈J∑Wjpijzi′≤j∈J∑Hjpij∀i∀i∀i
约束（5）方向约束，货物在集装器中的堆放方式有多种，这意味着货物的长宽高与坐标轴的平行情况会随货物的堆放方式的改变而改变，在这种情况下，货物在空间直角坐标系中长宽高的表示由该货物左后下角坐标和摆放方式确定。
{ x i ′ − x i = r i 11 l i + r i 12 w i + r i 13 h i ∀ i y i ′ − y i = r i 21 l i + r i 22 w i + r i 23 h i ∀ i z i ′ − z i = r i 31 l i + r i 32 w i + r i 33 h i ∀ i ∑ a = 1 3 r i a b = 1 ∀ i , b ∑ b = 1 3 r i a b = 1 ∀ i , a r i a b ≤ r i a b + ∀ i , a , b \begin{cases} x_{i}^{'}-x_{i}=r_{i11}l_{i}+r_{i12}w_{i}+r_{i13}h_{i}&\quad&\forall i \\ y_{i}^{'}-y_{i}=r_{i21}l_{i}+r_{i22}w_{i}+r_{i23}h_{i}&\quad&\forall i \\ z_{i}^{'}-z_{i}=r_{i31}l_{i}+r_{i32}w_{i}+r_{i33}h_{i}&\quad&\forall i \\ \sum\limits_{a=1}^{3}r_{iab}=1&\quad&\forall i,b\\ \sum\limits_{b=1}^{3}r_{iab}=1&\quad&\forall i,a\\ r_{iab}\le r_{iab}^{+}&\quad&\forall i,a,b \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧xi′−xi=ri11li+ri12wi+ri13hiyi′−yi=ri21li+ri22wi+ri23hizi′−zi=ri31li+ri32wi+ri33hia=1∑3riab=1b=1∑3riab=1riab≤riab+∀i∀i∀i∀i,b∀i,a∀i,a,b
约束（6）不重叠约束，如果两个货物被堆放在同一个集装器上，这两个货物位置不能相交，也即两个货物在X-Y、Y-Z、X-Z三个平面的投影不能存在两个投影面相交的情况。
{ x i k p + x k i p + y i k p + y k i p + z i k p + z k i p ≥ ( p i j + p k j ) − 1 ∀ i , k , j x k ′ ≤ x i + ( 1 − x i k p ) L ∀ i , k y k ′ ≤ y i + ( 1 − y i k p ) W ∀ i , k z k ′ ≤ z i + ( 1 − z i k p ) H ∀ i , k x i + 1 ≤ x k ′ + x i k p L ∀ i , k y i + 1 ≤ y k ′ + y i k p W ∀ i , k \begin{cases} x_{ik}^{p}+x_{ki}^{p}+y_{ik}^{p}+y_{ki}^{p}+z_{ik}^{p}+z_{ki}^{p} \ge (p_{ij}+p_{kj})-1 &\quad&\forall i,k,j\\ x_{k}^{'}\le x_{i}+(1-x_{ik}^{p})L &\quad&\forall i,k\\ y_{k}^{'}\le y_{i}+(1-y_{ik}^{p})W &\quad&\forall i,k\\ z_{k}^{'}\le z_{i}+(1-z_{ik}^{p})H &\quad&\forall i,k\\ x_{i}+1\le x_{k}^{'}+x_{ik}^{p}L &\quad&\forall i,k\\ y_{i}+1\le y_{k}^{'}+y_{ik}^{p}W &\quad&\forall i,k \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧xikp+xkip+yikp+ykip+zikp+zkip≥(pij+pkj)−1xk′≤xi+(1−xikp)Lyk′≤yi+(1−yikp)Wzk′≤zi+(1−zikp)Hxi+1≤xk′+xikpLyi+1≤yk′+yikpW∀i,k,j∀i,k∀i,k∀i,k∀i,k∀i,k
约束（7）稳定性约束，为了保证在运输过程中货物的稳定性，要求货物不可悬空，这里用每一货物其下表面接触面积需要达到一半以，约束如下：
{ ∑ k ∈ S i { x i ′ − x i + x k ′ − x k − [ m a x ( x i ′ , x k ′ ) − m i n ( x i , x k ) ] } × { y i ′ − y i + y k ′ − y k − [ m a x ( y i ′ , y k ′ ) − m i n ( y i , y k ) ] } ( x i ′ − x i ) × ( y i ′ − y i ) ≥ 1 2 ∀ i S i = { k ∣ p i j + p k j = 2 , z i = z k ′ , m a x ( x k ′ , x i ′ ) − m i n ( x k , x i ) < x i ′ − x i + x k ′ − x k , m a x ( y k ′ , y i ′ ) − m i n ( y k , y i ) < y i ′ − y i + y k ′ − y k } \begin{cases} \sum\limits_{k\in S_{i}}\frac{\{x_{i}{'}-x_{i}+x_{k}^{'}-x_{k}-[max(x_{i}{'},x_{k}^{'})-min(x_{i},x_{k})]\}\times \{y_{i}{'}-y_{i}+y_{k}^{'}-y_{k}-[max(y_{i}{'},y_{k}^{'})-min(y_{i},y_{k})]\}}{(x_{i}^{'}-x_{i})\times(y_{i}^{'}-y_{i})}\ge \frac{1}{2} \quad \forall i\\ S_{i}=\{k|p_{ij}+p_{kj}=2,z_{i}=z_{k}^{'},max(x_{k}^{'},x_{i}^{'})-min(x_{k},x_{i}) < x_{i}^{'}-x_{i}+x_{k}^{'}-x_{k},\\ max(y_{k}^{'},y_{i}^{'})-min(y_{k},y_{i}) < y_{i}^{'}-y_{i}+y_{k}^{'}-y_{k}\} \end{cases} ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧k∈Si∑(xi′−xi)×(yi′−yi){xi′−xi+xk′−xk−[max(xi′,xk′)−min(xi,xk)]}×{yi′−yi+yk′−yk−[max(yi′,yk′)−min(yi,yk)]}≥21∀iSi={k∣pij+pkj=2,zi=zk′,max(xk′,xi′)−min(xk,xi)<xi′−xi+xk′−xk,max(yk′,yi′)−min(yk,yi)<yi′−yi+yk′−yk}
约束（8）支撑限制约束，不同的货物的承重能力不同，有的货物上面不能堆放任何东西，这意味这种货物只能堆放在集装器的最高层，而有的货物能够承载其他货物堆放在其上表面，记每个货物都有其承重能力 BL i \text{BL}_{i} BLi，约束如下：
{ ∑ q m q + ∑ k m k s k i ( x k ′ − x k ) × ( y k ′ − y k ) ≤ B L i ∀ i s k i = { x i ′ − x i + x k ′ − x k − [ m a x ( x i ′ , x k ′ ) − m i n ( x i , x k ) ] } × { y i ′ − y i + y k ′ − y k − [ m a x ( y i ′ , y k ′ ) − m i n ( y i , y k ) ] } q ∈ { q ∣ p i j + p q j = 2 , z q ≥ z i ′ , x q ≥ x i , y q ≥ y i , x q ′ ≤ x i ′ , y q ′ ≤ y i ′ } k ∈ { k ∣ p i j + p k j = 2 , z k ≥ z i ′ , m a x ( x k ′ , x i ′ ) − m i n ( x k , x i ) < x i ′ − x i + x k ′ − x k , m a x ( y k ′ , y i ′ ) − m i n ( y k , y i ) < y i ′ − y i + y k ′ − y k } \begin{cases} \sum\limits_{q}m_{q}+\sum\limits_{k}m_{k}\frac{s_{ki}}{(x_{k}^{'}-x_{k})\times (y_{k}^{'}-y_{k})}\le BL_{i} \quad \forall i\\ s_{ki}=\{x_{i}{'}-x_{i}+x_{k}^{'}-x_{k}-[max(x_{i}{'},x_{k}^{'})-min(x_{i},x_{k})]\} \\ \times\{y_{i}{'}-y_{i}+y_{k}^{'}-y_{k}-[max(y_{i}{'},y_{k}^{'})-min(y_{i},y_{k})]\}\\ q \in \{q|p_{ij}+p_{qj}=2,z_{q}\ge z_{i}^{'},x_q\ge x_{i},y_{q}\ge y_{i},x_{q}^{'}\le x_{i}^{'},y_{q}^{'}\le y_{i}^{'}\}\\ k \in \{k|p_{ij}+p_{kj}=2,z_{k}\ge z_{i}^{'},max(x_{k}^{'},x_{i}^{'})-min(x_{k},x_{i}) < x_{i}^{'}-x_{i}+x_{k}^{'}-x_{k},\\ max(y_{k}^{'},y_{i}^{'})-min(y_{k},y_{i}) < y_{i}^{'}-y_{i}+y_{k}^{'}-y_{k}\} \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧q∑mq+k∑mk(xk′−xk)×(yk′−yk)ski≤BLi∀iski={xi′−xi+xk′−xk−[max(xi′,xk′)−min(xi,xk)]}×{yi′−yi+yk′−yk−[max(yi′,yk′)−min(yi,yk)]}q∈{q∣pij+pqj=2,zq≥zi′,xq≥xi,yq≥yi,xq′≤xi′,yq′≤yi′}k∈{k∣pij+pkj=2,zk≥zi′,max(xk′,xi′)−min(xk,xi)<xi′−xi+xk′−xk,max(yk′,yi′)−min(yk,yi)<yi′−yi+yk′−yk}
约束（9）重心约束，集装器堆放完货物后，此时集装器作为一个存放货物的容器，其重心应在其几何中心附近，以保证集装器在运输过程中的稳定性，约束如下：
{ c o n x 1 j ≤ ∑ i p i j m i g x i ∑ i p i j m i ≤ c o n x 2 j c o n y 1 j ≤ ∑ i p i j m i g y i ∑ i p i j m i ≤ c o n y 2 j j ∈ { j ∣ μ j = 1 } c o n z 1 j ≤ ∑ i p i j m i g z i ∑ i p i j m i ≤ c o n z 2 j \begin{cases} conx_{1j}\le \frac{\sum\limits_{i}{p_{ij}m_igx_{i}}}{\sum\limits_{i}p_{ij}m_{i}} \le conx_{2j}\\ cony_{1j}\le \frac{\sum\limits_{i}{p_{ij}m_igy_{i}}}{\sum\limits_{i}p_{ij}m_{i}} \le cony_{2j} \qquad j \in \{j|\mu_{j}=1\}\\ conz_{1j}\le \frac{\sum\limits_{i}{p_{ij}m_igz_{i}}}{\sum\limits_{i}p_{ij}m_{i}} \le conz_{2j} \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧conx1j≤i∑pijmii∑pijmigxi≤conx2jcony1j≤i∑pijmii∑pijmigyi≤cony2jj∈{j∣μj=1}conz1j≤i∑pijmii∑pijmigzi≤conz2j
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