DOA算法2：ESPRIT算法

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算法简述

ESPRIT算法全称为：Estimation of Signal Parameters using Rotational Invariance Techniques.与Root_MUSIC算法相同，也是一种参数估计技术。
ESPRIT算法基于一个事实：在旋转矢量中，一个元素上的信号来源于更早期元素信号的相移。

算法要得到什么

在Root_MUSIC算法的叙述中，我们已经设定$z_m=e^{jkdcos{\varphi }_m}$。并且根据式${\mathbf{R}}_{\mathbf{s}}=\mathbf{SA}{\mathbf{S}}^{\mathbf{H}}$可知，在矩阵$\mathbf{A}$确定的情况下，相关矩阵就是依赖于矩阵$\mathbf{S}$的，它是一个$(N\times M)$大小的旋转矢量矩阵。因此矩阵$\mathbf{S}$可以写为：
$$\mathbf{S}=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\\ z_1& z_2& \cdots & z_M\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ z_1^{N-2}& z_2^{N-2}& \cdots & z_M^{N-2}\\ z_1^{N-1}& z_2^{N-1}& \cdots & z_M^{N-1}\end{array}\right].$$
其中每一列代表一个信号的旋转矢量，例如第$i$列代表$\mathbf{s}({\varphi }_{\mathbf{i}})$。
然后，我们可以将矩阵$\mathbf{S}$分成两个矩阵，分别包含矩阵$\mathbf{S}$的前$(N-1)$行和后$(N-1)$行：
$$\begin{array}{rl}{\mathbf{S}}_0& =\left[\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\\ z_1& z_2& \cdots & z_M\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ z_1^{N-2}& z_2^{N-2}& \cdots & z_M^{N-2}\end{array}\right]\\ {\mathbf{S}}_1& =\left[\begin{array}{cccc}{z}_1& z_2& \cdots & z_M\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ z_1^{N-2}& z_2^{N-2}& \cdots & z_M^{N-2}\\ z_1^{N-1}& z_2^{N-1}& \cdots & z_M^{N-1}\end{array}\right]\end{array}$$
得到上面两个矩阵后，我们可以看到，${\mathbf{S}}_0$和${\mathbf{S}}_1$是存在等式关系的。
定义一个对角阵$\mathbf{\Phi }$:
$$\begin{array}{r}\mathbf{\Phi }=\left[\begin{array}{cccc}{z}_1& 0& \cdots & 0\\ 0& z_2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & z_M\end{array}\right]\end{array}$$
那么矩阵${\mathbf{S}}_0$和${\mathbf{S}}_1$的关系为：
$${\mathbf{S}}_1={\mathbf{S}}_0\mathbf{\Phi }$$
如我们所见，只要我们能估计出矩阵$\mathbf{\Phi }$，那么就能得到信号的DOA。

如何得到矩阵$\Phi$

如果我们已知了${\mathbf{S}}_0$和${\mathbf{S}}_1$两个矩阵，那么很容易就能得到矩阵$\Phi$。但是，显然，${\mathbf{S}}_0$和${\mathbf{S}}_1$两个矩阵是未知的，因此需要寻找代替物来得到相同的结果。

ESPRIT算法有一个前提：承认一个事实，就是矩阵$\mathbf{S}$中的旋转矢量涵盖了和矩阵${\mathbf{Q}}_{\mathbf{s}}$相同的子空间（信号子空间）。因此矩阵${\mathbf{Q}}_{\mathbf{s}}$与矩阵$\mathbf{S}$一定存在变换关系，设定为${\mathbf{Q}}_{\mathbf{s}}=\mathbf{SC}$，其中矩阵$\mathbf{C}$是一个可逆矩阵。

有上面的前提条件，那么矩阵${\mathbf{Q}}_{\mathbf{s}}$也能模仿矩阵$\mathbf{S}$分解成两个矩阵${\mathbf{Q}}_0$和${\mathbf{Q}}_1$，分别包含矩阵${\mathbf{Q}}_{\mathbf{s}}$的前$(N-1)$行和后$(N-1)$行。
那么对应地，矩阵${\mathbf{Q}}_0$、${\mathbf{Q}}_1$分别与矩阵${\mathbf{S}}_0$和${\mathbf{S}}_1$存在转换关系：
$$\begin{array}{rl}{\mathbf{Q}}_0& ={\mathbf{S}}_0\mathbf{C}\\ {\mathbf{Q}}_1& ={\mathbf{S}}_1\mathbf{C}={\mathbf{S}}_0\mathbf{\Phi C}\end{array}$$
因此你可以找到矩阵${\mathbf{Q}}_0$和${\mathbf{Q}}_1$之间的关系为：
$${\mathbf{Q}}_1{\mathbf{C}}^{-1}{\mathbf{\Phi }}^{-1}\mathbf{C}={\mathbf{S}}_0\mathbf{C}={\mathbf{Q}}_0$$
由此，我们可以设定一个新的矩阵为$\mathbf{\Psi }$，满足：
$$\begin{array}{rl}{\mathbf{\Psi }}^{-1}& ={\mathbf{C}}^{-1}{\mathbf{\Phi }}^{-1}\mathbf{C}\\ \Rightarrow {\mathbf{Q}}_1{\mathbf{\Psi }}^{-1}& ={\mathbf{Q}}_0\\ \Rightarrow {\mathbf{Q}}_1& ={\mathbf{Q}}_0\mathbf{\Psi }\end{array}$$
其中，矩阵$\mathbf{\Psi }={\mathbf{C}}^{-1}\mathbf{\Phi C}$.由该等式可知矩阵$\mathbf{\Psi }与矩阵\mathbf{\Phi }$相似，而矩阵$\mathbf{\Phi }$又恰好是对角阵，根据相似矩阵的性质，矩阵$\mathbf{\Phi }$对角线上的元素就是矩阵$\mathbf{\Psi }$的特征值！！！

因此，我们只要得到矩阵$\mathbf{\Psi }$，再求其特征值，就可以得到我们想要的矩阵$\mathbf{\Phi }$，进而求出DOA.
注意！因为矩阵${\mathbf{Q}}_0$和矩阵${\mathbf{Q}}_1$我们都能得到，因此可以用矩阵的最小二乘法来拟合出矩阵$\mathbf{\Psi }$，再进行之后的运算。

ESPRIT算法的步骤

1. 用式$\mathbf{R}=\frac{1}{K}{\sum }_{k=1}^K{\mathbf{x}}_{\mathbf{k}}{\mathbf{x}}_{\mathbf{k}}^{\mathbf{H}}$来估计出相关矩阵$\mathbf{R}$，再对其进行特征分解：$\mathbf{R}=\mathbf{Q\Lambda }{\mathbf{Q}}^{\mathbf{H}}$.得到矩阵$\mathbf{Q}$；
2. 从矩阵$\mathbf{Q}$中获得矩阵${\mathbf{Q}}_{\mathbf{s}}$（对应于矩阵$\mathbf{Q}$的$M$个最大的特征值），代表信号子空间；
3. 分别取矩阵${\mathbf{Q}}_{\mathbf{s}}$的前$(N-1)$行和后$(N-1)$行，分别形成矩阵${\mathbf{Q}}_0$、${\mathbf{Q}}_1$；
4. 使用最小二乘法（或完全最小二乘法）拟合出变换矩阵$\mathbf{\Psi }$;
5. 求出矩阵$\mathbf{\Psi }$的特征值，这些特征值就是待估计的$z_m$；
6. 使用下式获得DOA：
   

参考文献（仅写文章的标题，以做记录）

[1]. Direction of Arrival Estimation