AI05：卷积神经网络基础；leNet；卷积神经网络进阶
卷积神经网络基础
卷积层和池化层，填充、步幅、输入通道和输出通道。
二维卷积层
本节介绍最常见的二维卷积层，常用于处理图像数据
二维互相关运算
二维互相关（cross-correlation）运算的输入是一个二维输入数组和一个二维核（kernel）数组，输出也是一个二维数组，其中核数组通常称为卷积核或过滤器（filter）。卷积核的尺寸通常小于输入数组，卷积核在输入数组上滑动
import torch
import torch.nn as nn
def corr2d(X, K):
H, W = X.shape
h, w = K.shape
Y = torch.zeros(H - h + 1, W - w + 1)
for i in range(Y.shape[0]):
for j in range(Y.shape[1]):
Y[i, j] = (X[i: i + h, j: j + w] * K).sum()
return Y
构造上图中的输入数组X、核数组K来验证二维互相关运算的输出。
X = torch.tensor([[0, 1, 2], [3, 4, 5], [6, 7, 8]])
K = torch.tensor([[0, 1], [2, 3]])
Y = corr2d(X, K)
print(Y)
二维卷积层
二维卷积层将输入和卷积核做互相关运算，并加上一个标量偏置来得到输出。卷积层的模型参数包括卷积核和标量偏置。
class Conv2D(nn.Module):
def __init__(self, kernel_size):
super(Conv2D, self).__init__()
self.weight = nn.Parameter(torch.randn(kernel_size))
self.bias = nn.Parameter(torch.randn(1))
def forward(self, x):
return corr2d(x, self.weight) + self.bias
下面我们看一个例子，我们构造一张 6×8 的图像，中间4列为黑（0），其余为白（1），希望检测到颜色边缘。我们的标签是一个 6×7 的二维数组，第2列是1（从1到0的边缘），第6列是-1（从0到1的边缘）。
X = torch.ones(6, 8)
Y = torch.zeros(6, 7)
X[:, 2: 6] = 0
Y[:, 1] = 1
Y[:, 5] = -1
print(X)
print(Y)
我们希望学习一个 1×2 卷积层，通过卷积层来检测颜色边缘。
conv2d = Conv2D(kernel_size=(1, 2))
step = 30
lr = 0.01
for i in range(step):
Y_hat = conv2d(X)
l = ((Y_hat - Y) ** 2).sum()
l.backward()
# 梯度下降
conv2d.weight.data -= lr * conv2d.weight.grad
conv2d.bias.data -= lr * conv2d.bias.grad
# 梯度清零
conv2d.weight.grad.zero_()
conv2d.bias.grad.zero_()
if (i + 1) % 5 == 0:
print('Step %d, loss %.3f' % (i + 1, l.item()))
print(conv2d.weight.data)
print(conv2d.bias.data)
Step 5, loss 4.569
Step 10, loss 0.949
Step 15, loss 0.228
Step 20, loss 0.060
Step 25, loss 0.016
Step 30, loss 0.004
tensor([[ 1.0161, -1.0177]])
tensor([0.0009])
互相关运算与卷积运算
卷积运算，反映了事物的相互作用，并且这种相互作用受制于同一个影响因子。
相关运算，在于反应已有事物的内在关联，并不是事物之间的相互影响。
卷积层得名于卷积运算，但卷积层中用到的并非卷积运算而是互相关运算。我们将核数组上下翻转、左右翻转，再与输入数组做互相关运算，这一过程就是卷积运算。由于卷积层的核数组是可学习的，所以使用互相关运算与使用卷积运算并无本质区别。
特征图与感受野
二维卷积层输出的二维数组可以看作是输入在空间维度（宽和高）上某一级的表征，也叫特征图（feature map）。影响元素 x 的前向计算的所有可能输入区域（可能大于输入的实际尺寸）叫做 x 的感受野（receptive field）。
仍以上图为例，输入中阴影部分的四个元素是输出中阴影部分元素的感受野。我们将图中形状为 2×2 的输出记为 Y ，将 Y 与另一个形状为 2×2 的核数组做互相关运算，输出单个元素 z 。那么， z 在 Y 上的感受野包括 Y 的全部四个元素，在输入上的感受野包括其中全部9个元素。可见，我们可以通过更深的卷积神经网络使特征图中单个元素的感受野变得更加广阔，从而捕捉输入上更大尺寸的特征。
填充和步幅
卷积层的两个超参数，即填充和步幅，它们可以对给定形状的输入和卷积核改变输出形状。
填充
填充（padding）是指在输入高和宽的两侧填充元素（通常是0元素）
我们在卷积神经网络中使用奇数高宽的核，比如 3×3 ， 5×5 的卷积核，对于高度（或宽度）为大小为 2k+1 的核，令步幅为1，在高（或宽）两侧选择大小为 k 的填充，便可保持输入与输出尺寸相同。
步幅
在互相关运算中，卷积核在输入数组上滑动，每次滑动的行数与列数即是步幅（stride）
多输入通道和多输出通道
之前的输入和输出都是二维数组，但真实数据的维度经常更高。例如，彩色图像在高和宽2个维度外还有RGB（红、绿、蓝）3个颜色通道。假设彩色图像的高和宽分别是 h 和 w （像素），那么它可以表示为一个 3×h×w 的多维数组，我们将大小为3的这一维称为通道（channel）维。
多输入通道
多输出通道
卷积层与全连接层的对比
二维卷积层经常用于处理图像，与此前的全连接层相比，它主要有两个优势：
一是全连接层把图像展平成一个向量，在输入图像上相邻的元素可能因为展平操作不再相邻，网络难以捕捉局部信息。而卷积层的设计，天然地具有提取局部信息的能力。
二是卷积层的参数量更少。不考虑偏置的情况下，一个形状为 (ci,co,h,w) 的卷积核的参数量是 ci×co×h×w ，与输入图像的宽高无关。假如一个卷积层的输入和输出形状分别是 (c1,h1,w1) 和 (c2,h2,w2) ，如果要用全连接层进行连接，参数数量就是 c1×c2×h1×w1×h2×w2 。使用卷积层可以以较少的参数数量来处理更大的图像。
卷积层的简洁实现
使用Pytorch中的nn.Conv2d类来实现二维卷积层
X = torch.rand(4, 2, 3, 5)
print(X.shape)
conv2d = nn.Conv2d(in_channels=2, out_channels=3, kernel_size=(3, 5), stride=1, padding=(1, 2))
Y = conv2d(X)
print('Y.shape: ', Y.shape)
print('weight.shape: ', conv2d.weight.shape)
print('bias.shape: ', conv2d.bias.shape)
torch.Size([4, 2, 3, 5])
Y.shape: torch.Size([4, 3, 3, 5])
weight.shape: torch.Size([3, 2, 3, 5])
bias.shape: torch.Size([3])
池化
池化层主要用于缓解卷积层对位置的过度敏感性。同卷积层一样，池化层每次对输入数据的一个固定形状窗口（又称池化窗口）中的元素计算输出，池化层直接计算池化窗口内元素的最大值或者平均值，该运算也分别叫做最大池化或平均池化。如下图展示了池化窗口形状为 2×2 的最大池化。
在处理多通道输入数据时，池化层对每个输入通道分别池化，但不会像卷积层那样将各通道的结果按通道相加。这意味着池化层的输出通道数与输入通道数相等。
池化层的简洁实现
使用Pytorch中的nn.MaxPool2d实现最大池化层
平均池化层使用的是nn.AvgPool2d，使用方法与nn.MaxPool2d相同。
X = torch.arange(32, dtype=torch.float32).view(1, 2, 4, 4)
pool2d = nn.MaxPool2d(kernel_size=3, padding=1, stride=(2, 1))
Y = pool2d(X)
print(X)
print(Y)
tensor([[[[ 0., 1., 2., 3.],
[ 4., 5., 6., 7.],
[ 8., 9., 10., 11.],
[12., 13., 14., 15.]],
[[16., 17., 18., 19.],
[20., 21., 22., 23.],
[24., 25., 26., 27.],
[28., 29., 30., 31.]]]])
tensor([[[[ 5., 6., 7., 7.],
[13., 14., 15., 15.]],
[[21., 22., 23., 23.],
[29., 30., 31., 31.]]]])
课后练习
