MMSE信道估计学习笔记

1.首先要理解什么叫最小均方误差,知道定义 E(||e||^2)

2.要知道MMSE存在“正交性原理”:E({ey^H})=0,即误差和观测值、估计值正交。

   ---其中,向量a,b内积的定义为ab^H,随机向量内积定义为E\left \{ ab^H \right \}。随机向量a,b正交就意味着E\left \{ ab^H \right \}= 0,如果a,b其中有一个是0期望向量,可以得到列向量a和b的协方差矩阵为零矩阵Cov(a,b)=E\left \{ ab^H \right \}-E(a)E(b^H)=\bf0 ,即列向量a和b不相关https://blog.csdn.net/memory513773348/article/details/17589889

 

3.MMSE的接收机设计原则:为了设计一个能够最小化MSE的接收机,因此写出MSE的表达式求导,其中二阶导数为正,因此MSE是凸函数,求凸函数最小值令一阶导数为0即可

4 线性LMMSE估计模型y=ax+b,其中x是待估计的随机变量,a\b是确定值(非随机)。对于高斯随机变量,MMSE与LMMSE等价。LMMSE很实用,因为他不需要具体变量的pdf,只需要变量的1-2阶统计特征(期望,协方差)

学习资料:

1.(非常好)https://marshallcomm.cn/2018/12/22/algorithm-mmse-detection/?fbclid=iwar0vrja7tdwfupi9ijdawrcgkjlz6wac9wj4jjhrcevbitgrixtvpcokio8

2. (很全面)https://blog.csdn.net/qq_23152205/article/details/108865536

3. (简单直观,利用了MMSE的正交性原理)https://blog.csdn.net/zhihuiyu123/article/details/83245946

4. (证明了为什么正交性原理和求导法是等价的,利用链式求导法则) https://www.docin.com/p-660734929.html

5. (MMSE的无偏性质和正交性准则)https://zhuanlan.zhihu.com/p/370949368 

一些思考:

1.推导涉及到了对矩阵迹的导数,其中很重要的一点是X的共轭对X的导数是0(复变函数求导性质),矩阵迹的导数可以参考一篇文章[1] :TABLE V,此外为什么求tr(AXB)对X的导数会产生一个转置(BA)^T,可以参考这篇文章https://blog.csdn.net/asasasaababab/article/details/80262969,一个简单的理解就是对X求导的结果与X维度相同,X的行数是A的列数,如果对A转置那么就和X在行方向同维度了。同理如果是tr(AX^TB)对X的导数,因为A的行数和X相同,所以得到的结果就是(BA)

[1] A. Hjorungnes and D. Gesbert, "Complex-Valued Matrix Differentiation: Techniques and Key Results," in IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 55, no. 6, pp. 2740-2746, June 2007.

2.推导出信道的MMSE估计值之后,要计算误差的协方差,其中一个是用到正交性原理,另外一个是用到Woodbury matrix identity

3.列向量X~CN(A,B),意味着B=Cov(X)=E(X*X^H)-E(X)E(X^H)

4. 导频信号x,噪声n,未知的信道h,得到观测信号y=hx+n,设计LMMSE接收机参数a,b,对观测信号y线性操作得到h的估计值 ^h= ay + b,其中a,b不是随机变量,是确定的值。估计误差e=h - ^h = h- (ay+b),MSE为||e||^2=tr(ee^H),正交性原理-误差和观测值正交,即E[e*y^H]=0. 如果b=0,那么误差e也和信道估计值^h正交:E[e*(^h)^H]=E[e*ay^H]=0,进一步如果e或者y其一期望是0,正交就可以导出不相关(事实上,基于MMSE的无偏性准则,我们知道e的期望是0)。要想y期望为0,只要h期望为0,因为噪声n期望必然是0. 

5. 线性MMSE估计,估计值不受具体信道表达式影响,只是由信道的一阶(期望)和二阶(协方差)统计特性决定。无论是什么信道都不影响通用的表达式形式(只和期望、协方差有关)

6.阅读《Fundamentals of Statistical Signal Processing: Estimation Theory》第12、15章,尤其是几何理解部分,形象地说明了为什么存在估计和观测值的正交性

你可能感兴趣的:(MIMO)