信道估计之LS算法

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前言

       信道估计是通信系统接收机的重要功能模块，主要是用来估计信号所经历信道的冲击响应，并用于后续的信道均衡处理，以便消除多径信号混叠造成的ISI。
       信道估计的方法有很多种，大体上可分为两类，一类是基于训练序列的信道估计，而另一类是信道的盲估计（自适应估计），其估计过程不依赖已知信息。常见通信系统的信道估计，绝大部分是基于训练序列的估计方法，这里面最最常用的两个信道估计算法就是LS算法和MMSE算法。LS是最小二乘、MMSE是最小均方误差，它们都是所谓的最优化准则，即得到最优信道估计所遵循的准则，有时也被称为代价函数。

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LS信道估计的原理

       建立如下信号关系式：

       其中Y为实际接收数据，Y’为估计的接收数据，其大小均为N1X1的矩阵（N1为参与LSCE计算的数据数量），Z 为噪声也是一个N1X1的矩阵，H是真实信道矩阵，H’是估计信道矩阵，大小为N2X1（N2为估计的多径数量）。X为发送数据矩阵，是一个N1XN2的矩阵，其包含的数据为按行进行符号延迟的数据。
       首先明确一点，在LS估计中，我们使用Y和Y‘’来进行计算，估计出的结果是H’而并非H，若估计的结果H’使得Y’与Y误差最小，则能得到的结果应该是H’与H(带三角)的误差最小，但H(带三角)也不是真实的信道矩阵，其内还包含了一个误差项Z/X，因此对于LS信道估计而言，其结果的精度是受这个误差项影响的，而这个误差项概括来说就是和SNR相关，SNR越大，误差项越小，LS估计精度越高。
       现依据LS最优准则对上式中H’进行估计，首先给出LS准则的代价函数

       能使代价函数J(H’)取到最小值的H’则是我们求的最优信道矩阵，下面通过分析代价函数对H’的一阶导数和二阶导数，来确定J(H’)的最小值位置。

       因为X^HX为正定矩阵，所以J(H’)为自变量H’的凹函数，则其一阶导数的零点即对应了该函数的极小值位置。依据这个理论能直接计算出代价函数J(H’)极小值时的H’，这也就是对信道矩阵的LS最佳估计。

       上式中的H’就是LS信道估计的结果，可见其计算过程需要对X的自相关矩阵进行求逆运算，在实际使用中，因为X矩阵是已知的，因此X^HX的逆矩阵可以提前计算出来，而不用在代码实现中再进行求逆运算，从而简化计算过程。

总结

       通过上面的分析可知，LS信道估计使用的优化准则为：实际接收数据（实际观测量）与估计的接收数据（估计观测量）之间的误差平方和最小。这就造成了估计出来的信道矩阵与实际的信道矩阵存在一定误差，而且这个误差会随着信噪比的降低越来越大，这也是为什么LS信道估计不适合应用在信噪比较低的场景中。那如果实际使用的场景存在低SNR的情况怎么办呢，这就引出了另外一种信道估计算法–MMSE估计。