图谱理论简介：研究问题、基本定义

研究问题

图谱理论主要是通过图的邻接矩阵、Laplacian矩阵等代数表示，应用组合矩阵论来研究图的拓扑性质及其确定性。利用图的一些谱性质设计算法对规模较小的现实复杂网络中的社团结构进行较准确的挖掘有现实意义。

图谱理论的一个重要问题是谱确定问题。即"哪些图可由它们的谱确定？"可是，关于一般图的谱确定问题没有统一的结论，上世纪，部分研究证明了：几乎所有树图的补图不能由其邻接谱确定、几乎所有树图都不能由它们的Laplacian谱确定，等结论；各种研究给出了许多满足特定要求的谱确定图。迄今为止，我们只能知道所有具有n（较大）个顶点的图中谱确定图的比例远远小于非谱确定图，而大部分11或少于11个顶点的图是谱确定图。

我们知道判断图的同构问题是一个NP问题。但由于检查两个图是否同谱可以在多项式时间内完场（P），那么对于两个谱确定图，就可以通过比较它们是否同谱确定是否同构。 

 矩阵树定理：  i=1,2...n

其中L_ij是L中删除第i行j列后得到的矩阵。其代数余子式等于G的生成树的数目 \tau(G)。

 矩阵树定理是图谱理论中的一个著名定理。生成树的数目对于研究网络可靠性等问题有广泛的应用。

 

谱的定义

A(G) L(G) Q(G) 分别是图的邻接矩阵、拉普拉斯矩阵、signless 拉普拉斯矩阵。它们都是实对称矩阵，n个特征值都为实数。我们将特征值组成的多重集合(multi-set)叫做谱，将其中最大的特征值叫做谱半径。

目前，更多的理论证明思路是给出由拉普拉斯谱确定的图形。而随着计算机技术发展，计算结果显示当图的顶点数增大时，可由signless 拉普拉斯谱确定的图形比例再三种谱中最多，因此被认为具有很好的前景。

 

参考《图谱理论与复杂网络相关算法》第一章。