第4章 实体识别：图模型基础

第四章 实体识别：图模型基础

实战：https://blog.csdn.net/weixin_42486623/article/details/118347853
代码：https://github.com/daiyizheng/NER-Set/tree/master/hmm

概率模型

机器学习
最重要的任务是根据已观察到的证据（例如训练样本）对感兴趣的未知变量（例如类别标记）进行估计和推测。
概率模型（probabilistic model）
提供了一种描述框架，将任务归结为计算变量的概率分布。在概率模型中，利用已知的变量推测未知变量的分布称为“推断（inference）"，其核心在于基于可观测的变量推测出未知变量的条件分布，即由$P(Y,R,O)$或$P(Y,R|O)$得到$P(Y|O)$。

• 生成式：计算联合分布$P(Y,R,O)$
• 判别式：计算条件分布$P(Y,RIO)$

符号约定

• y为未知变量的集合，O为可观测变量集合，R为其他变量集合

如何由$P(Y,R,O)$或$P(Y,RIO)$得到$P(Y|O)$
思路：直接利用概率求和规则消去变量。
可行性：不可行！即便未知变量集合Y和其他变量集合R中，每个变量只有简单的两种取值，则该方法的时间和空间复杂度为指数级别$O(2^{|Y|+|R|})$。

概率图模型分类

• 有向图：贝叶斯网（适合为有单向依赖的数据建模）
• 无向图：马尔可夫网（适合实体之间互相依赖的建模

有向图概率

概率乘法公式

联合概率

无向图概率

联合概率

用因子分解将p(Y)写为若干个联合概率的乘积

隐马尔可夫模型（Hidden Markoy Model，HMM）

组成

• 状态变量：$\{y_1,y_2\dots ,y_n\}$通常假定是隐藏的，不可被观测的

  • 系统通常在多个状态$\{S_1,S_2,\dots ,S_N\}$之间切换，因此，状态变量$y_i$的取值范围（状态空间）通常有N个可能取值的离散空间；

• 观测变量：$\{x_1,x_2,\dots ,x_n\}$表示第刻的观测值集合

  • 观测变量可以为离散或连续型（本章中只讨论离散型观测变量），$x_i$取值范围为$\{o_1,o_2,\dots ,o_w\}$，即观测变量通常有M个可能取值的离散空间。
    t时刻，观测变量$x_t$的取值仅依赖于状态变量$y_t$；
    t时刻，状态$y$，仅依赖于$t-1$时刻状态$y_{t-1}$，与其余$n-2$个状态无关

HMM的基本组成

1. 确定一个HMM需要三组参数$\lambda =[A,B,T]$
   状态转移概率：模型在各个状态间转换的概率
   表示在任意时刻$t$，若状态为$s_i$；，下一状态为$s_j$的概率；
   $A=[a_{ij}{]}_{N\times N}$ $a_{ij}=p(yt+1=s_j|y_t=s_i),1\le i,j\le N$
   N表示隐藏状态可能取值的离散空间
   输出观测概率：模型根据当前状态获得各个观测值的概率
   在任意时刻$t$，若状态为$s_i$；，则其对应的输出变量为$o_j$的概率；
   $B=[b_{ij}{]}_{N\times N}{b}_{ij}=p(x_t=o_j|y_t=s_i),1\le i\le N，1\le j\le M$
   M表示观测变量可能取值的离散空间
   初始状态概率：模型在初始时刻各个状态出现的概率
   $\pi =[{\pi }_1,\dots ,{\pi }_n]{\pi }_i=P(y_1=s_i,1\le i\le N$
   $P(x_1,y_1,\dots ,x_n,y_n）=P(y_1)P(x_1|y_1){\prod }_n^{i=2}P(y_i|y_{i-1})P(x_i|y_i)$

HMM的生成过程

通过指定状态空间$y$，观测空间X和上述三组参教，就能确定一个隐马尔可夫模型。给定$\lambda =[A,B,\pi ]$，它按如下过程生成观察序列：

1. 设置$t=1$，并根据初始状态m选择初始状态$y_1$；
2. 根据状态$y_t$，和输出观测概率B选择观测变量取值$x_t$；
3. 根据状态$y$，和状态转移矩阵A转移模型状态，即确定$y_{t+1}$；
4. 若$t<n$，设置$t=t+1$，并转到第2步，否则停止。

对于模型$A=[A,B,\pi ]$，给定观测序列$x=\{x_1,x_2..X_n\}$

• 概率计算问题：评估模型和观测序列之间的匹配程度，有效计算观测序列其产生的概率$P(x|A)$；
• 预测问题：根据观测序列“推测”隐藏的模型状态$y=\{y_1,y_2..\dots y_n\}$，即求得使概率$P(y|x)$最大的状态序列$y$；
• 参数学习问题：如何调整模型参数$\lambda =[A,B,\pi ]$以使得该序列出现的概率$P(x|\pi )$最大。

具体应用

• 根据以往的观测序列$x=\{x_1，x_2...,x_n\}$预测当前时刻最有可能的观测值。
• 语音识别：根据观测的语音信号推测最有可能的状态序列（即：对应的文字）。
• 通过数据学习参数（模型训练）。

基于马尔可夫的条件独立性，隐马尔可夫模型的这三个问题均能高效解决（动态规划）

马尔可夫随机场

马尔可夫随机场（Markov Random Field，MRF）

• 是典型的马尔可夫网
• 著名的无向图模型

图模型表示

• 结点表示变量（集），边表示依赖关系；
• 有一组势函数（Potential Functions），亦称“因子”（factor），这是定义在变量子集上的非负实函数，主要用于定义概率分布函数。
  

分布形式化

• 使用基于极大团的势函数（因子）
  • 对于图中结点的一个子集，若其中任意两结点间都有边连接，则称该结点子集为一个“团”（clique）。若一个团中加入另外任何一个结点都不再形成团，则称该团为“极大团”（maximal clique）。
  • 图中（x1，x2]，{x2，x6}，{x2，x5，x6]等为团，但{x2，x6）不是极大团，因为（x2，x5，x6}也是一个团。
  • 每个结点至少出现在一个极大团中。
• 多个变量之间的连续分布可基于团分解为多个因子（势函数）的乘积。

基于极大团的势函数

• 联合概率分布可以使用极大团定义；
• 假设所有极大团构成的集合为$C\ast$，则
  

图模型的联合概率分布

马尔可夫随机场中的分离集

• 马尔可夫随机场中得到“条件独立性"。
• 借助“分离”的概念，若从结点集A中的结点到B中的结点都必须经过结点集C中的结点，则称结点集A与B被结点集C分离，称C为分离集（separating set）。
  

马尔可夫随机场–全局马尔可夫性

• 借助“分离”的概念，可以得到：
  • 全局马尔可夫性（global Markov property）：在给定分离集的条件下，两个变量子集条件独立。
    比如，令A,B,C对应的变量集分别为$x_A,x_B,x_C$，则在给定$x_C$的条件下，$x_A$和$x_B$独立，记为$x_A\perp x_B|x_C$
    

全局马尔可夫性的验证

• 全局马尔可夫性（global Markov property）：在给定分离集的条件下，两个变量子集条件独立。
• 图模型简化：- 图模型的联合概率为：
  
  - 条件概率
  - 验证
  

马尔可夫随机场中的条件独立性

由全局马尔可夫性可以导出：

• 局部马尔可夫性（local Markov property）：在给定邻接变量的情况下，一个变量条件独立于其它所有变量；
  • 令$V$为图的结点集，$n(v)$为结点$v$在图上的邻接节点，

（这是因为$n_{(v)}$是$x_v$与$x_{V\backslash n^{\ast }(v)}$的分离集）

• 成对马尔可夫性（pairwise Markov property）：在给定所有其它变量的情况下，两个非邻接变量条件独立。
  • 令$V$为图的结点集，边集为$E$，对图中的两个结点$u$, $v$，若$<u,v\notin E$，有$x_u\perp x_v|x_{V\backslash <u,v>}$。
    

马尔可夫随机场中的势函数

势函数${\phi }_Q(x_Q)$中变量的相关关系，应为非负函数，且在所偏好的变量取值上有较大的函数值。

上图中，假定变量均为二值变量，定义势函数：

说明模型偏好$x_A$与$x_C$有相同的取值，$x_B$与$x_C$有不同的取值，换言之，$x_A$与$x_C$正相关，$x_B$与$x_C$负相关。所以令$x_A$与$x_C$相同且$x_B$与$x_C$不同的变量值，联合概率取值较高。

势函数${\phi }_Q(x_Q)$的作用是定量刻画变量集$x_Q$中变量的相关关系，应为非负函数，且在所偏好的变量取值上有较大的函数值。
为了满足非负性，指数函数常被用于定义势函数，即：

其中，$H_Q(x_Q)$是一个定义在变量$x_Q$上的实值函数，常见形式为：
其中，${\alpha }_{uv}$和${\beta }_v$，是参数，上式第一项考虑每一对结点的关系，第二项考虑单结点。

条件随机场（CRF）

CRF是一种判别式无向图模型，条件随机场对多个变量给定相应观测值后的条件概率进行建模，若令$x=x_1,x_2..\dots ,x_n$
为观测序列，$y=y_1,y_2\dots ,y_n$为对应的标记序列，CRF的目标是构建条件概率模型$P(y|x)$。

标记变量y可以是结构型变量，它各个分量之间具有某种相关性。

• 词性标注任务中，观测数据为单词序列，标记为相应的词性序列，具有线性序列结构；
• 语法分析任务中，观测数据为单词序列，输出标记是语法树，具有树形结构。
  
  令$G=<V,E>$表示结点与标记变量$y$中元素一一对应的无向图。无向图中，$y_v$表示与节点$v$对应的标记变量，$n_{(v)}$表示结点的邻接结点，若图$G$中的每个结点都满足马尔可夫性，
  则$(y,x)$构成条件随机场。
• CRF使用势函数和图结构上的团来定义$P(y|x)$。
• 考虑链式条件随机场（chain-structured CRF），如下所示：
  包含两种关于标记变量的团：
• 相邻的标记变量，即$\{y_{i-1},y\}$；
• 单个标记变量，$\{y_i\}$。

链式条件随机场

条件概率可被定义为：

其中，
$t_i(y_{i+1,x,i})$：观测序列的两个相邻标记位置上的转移特征函数，用于刻画相邻标记变量之间的相关关系以及观测序列对它们的影响；
$s_k(y_i,x,i)$：观测序列的标记位置i上的状态特征函数，用于刻画观测序列对标记变量的影响；
${\lambda }_j,u_k$为参数，$Z$为规范化因子。
通常特征函数$t_j$，和$s_k$取值为1或0；当满足特征条件时取1，否则为0。

CRF特征函数的直观理解

特征函数通常是实值函数，用于刻画数据中一些大概率成立或者期望成立的经验特性。特征函数本质上是一种规则。
以词性标注任务为例：
某一特征函数：

表示第$i$个观测值x为单词’knock’时，相应的标记$y,y_{i+1}$很可能分别为$[V],[P]$。
其实，该特征函数定义了一个规则，该规则为$“x_i$为单词knock时，其词性$y_i$；为动词，且该单词后面一个词的标签需要是介词"。

特征函数本质上是一种规则，一个训练好的模型可以看作是多个规则的集合。

那么，每个规则在这个模型中的价值（重要性）都是相同的吗？这就是权值${\lambda }_j,u_k$的意义，即衡量不同规则的重要程度。

示例

MRF与CRF的对比

MRF

• 使用团上的势函数定义概率
• 对联合概率建模
  

CRF

• 使用团上的势函数定义概率
• 有观测变量，对条件概率建模