动态规划问题 —— 最长公共子序列

题目描述

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对于两个字符串，请设计一个高效算法，求他们的最长公共子序列的长度，这里的最长公共子序列定义为有两个序列U1,U2,U3...Un和V1,V2,V3...Vn,其中Ui<Ui+1，Vi<Vi+1。且A[Ui] == B[Vi]。

给定两个字符串A和B，同时给定两个串的长度n和m，请返回最长公共子序列的长度。保证两串长度均小于等于300。

测试样例：

"1A2C3D4B56",10,"B1D23CA45B6A",12
返回：6

解题思路

定义一个矩阵z[m+1][n+1]，其中z[i][j]代表字符串A中的前i个字符串和字符串B的前j个字符串的最长公共子序列。其中z[0][j]行与z[i][0]代表矩阵的第一行和第一列，其值均为0；接下来考虑求z[i][i]时，先判断A[i]和B[j]是否相同，如果相同就是z[i-1][j-1]+1，相当于在两个字符串都去掉一个字符时的最长公共字串再加1；否则取z[i][j-1]和z[i-1][j]中最大值；于是，从z[1][1]开始，依照从左到右、从上到下的次序计算整个矩阵z，矩阵z右下角的值即为串A和B的最长公共子序列。

测试样例对应的矩阵z为：

[[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
 [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1],
 [0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1],
 [0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2],
 [0, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2],
 [0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3],
 [0, 1, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3],
 [0, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3],
 [0, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4],
 [0, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5],
 [0, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5],
 [0, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 6],
 [0, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 6]]

示例程序：

# -*- coding:utf-8 -*-
class LCS:
    def findLCS(self, A, n, B, m):
        # write code here
        z = [[0 for i in range(n+1)] for j in range(m+1)]
        for i in range(1,m+1):
            for j in range(1,n+1):
                if A[j-1]==B[i-1]:
                    z[i][j] = z[i-1][j-1] + 1
                else:
                    z[i][j] = max(z[i-1][j],z[i][j-1])
        return z[m][n]