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运筹学与最优化MATLAB编程

实验报告

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割平面法求解整数规划问题

引言：

通过对MATLAB实践设计的学习，学会使用MATLAB解决现实生活中的问题。该设计是在MATLAB程序设计语言的基础上，对实际问题建立数学模型并设计程序，使用割平面法解决一个整数规划问题。经实验，该算法可成功运行并求解出最优整数解。

算法说明：

割平面法有许多种类型，本次设计的原理是依据Gomory的割平面法。Gomory割平面法首先求解非整数约束的线性规划，再选择一个不是整数的基变量，定义新的约束，增加到原来的约束中，新的约束缩小了可行域，但是保留了原问题的全部整数可行解。

算法具体设计步骤如下：

1、首先，求解原整数规划对应的线性规划，设最优解为x*。

2、如果最优解的分量均为整数，则x*为原整数规划的最优解；否则任选一个x*中不为整数的分量，设其对应的基变量为xp，定义包含这个基变量的切割约束方程，其中xp为非基变量。

3、令，，其中[]为高斯函数符号，表示不大于某数的最大整数。将切割约束方程变换为，由于0<<1，0<<1，所以有，因为自变量为整数，则也为整数，所以进一步有。

4、将切割方程加入约束方程中，用对偶单纯形法求解线性规划 ，然后在转入步骤2进行求解，直到求出最优整数解停止迭代。

程序实现：

程序设计流程图如图1，具体设计代码(见附录)。

图1

算例分析：

已知AM工厂是一个拥有四个车间的玩具生产厂商，该厂商今年新设计出A、B、C、D、E、F六种玩具模型，根据以前的生产情况及市场调查预测，得知生产每单位产品所需的工时、每个车间在一季度的工时上限以及产品的预测价格，如下表所示。问：每种设计产品在这个季度各应生产多少，才能使AM工厂这个季度的生产总值达到最大？

产品

车间

A

B

C

D

E

F

每个车间每季度工时上限

甲

乙

丙

丁

0.01

0.02

0.01

0.02

0.01

0.03

0.03

0.05

0.03

0.05

0.03

0.08

850

700

100

900

单价(元)

20

14

16

36

32

30

1、问题分析并建立模型：

由题意可知这是一个求解产量使产值最大的整数规划问题。根据上述问题和已知数据,可以假设每种产品在这个季度各应生产产量分别为：x1、x2、x3、x4、x5、x6，则有以下线性方程组

maxZ=20x1+14x2+16x3+36x4+32x5+30x6

2、实验步骤：

首先引入松弛变量x7、x8、x9 、x10，使其化为标准型

minZ=-20x1-14x2-16x3-36x4-32x5-30x6

其次从标准型可表示出约束系数矩阵、右端项常数矩阵、目标系数矩阵分别为A、b、c。 然后调用DividePlane函数，使用割平面法进行求解。

在MATLAB的命令窗口输入一下命令：

>> A=[0.01 0.01 0.01 0.03 0.03 0.03 1 0 0 0;0.02 0 0 0.05 0 0 0 1 0 0;0 0.02 0 0 0.05 0 0 0 1 0;0 0 0.03 0 0 0.08 0 0 0 1];

>> c=[-20;-14;-16;-36;-32;-30];

>> b=[850;700;100;900];

>> [intx,intf]=DividePlane(A,c,b,[7 8 9 10])

3、实验结果及分析：

intx =

35000 5000 30000 0 0 0

intf =

-1250000

实验结果求出的目标函数值是化为标准型的最小值，则转化为原问题的目标函数值应取相反数，所以从实验结果可知：生产各种产品的产量分别应为为，生产A 35000、生产B 5000、生产C 30000、生产D 、E、F均为0，此时的季度产值为最大即1250000元。该结果是可信的，故通过该实例说明该程序能够运用于实际，用来解决实际生活中求解整数规划的问题。

结束语：

Matlab是个很强大的软件，提供了大量的函数来处理各种数学、工程、运筹等的问题，并且含有处理二维、三维图形的功能，使用matlab能够解决许多实际生活中的问题。通过这个学期的学习，仅是了解了matlab的部分函数功能和简单的GUI界面设计，掌握了一些基本的程序编写技能，同时，在老师的指导下简单了解了使用LinGo和Excel解决线性和非线性规划问题的求解方法，收获相当丰富，同时认识到要学好matlab仍然需要一个长期的过程。

参考文献：

[1] 龚纯，王正林.精